Rotaciones de estados propios de SzSzS_z

Question

Rotaciones de estados propios de SzSzS_z

armani42

Tengo una pregunta sobre la rotación de espinores en un sistema de espín-1/2.

Tenemos un generador de Spin $\hat{S}$ para rotaciones de espinores. Una rotación alrededor del eje. $\vec{n}$ con el ángulo $\phi$ es generado por el operador:

D_{\vec{norte}} (ϕ) = Exp (- i ϕ \hat{S} \cdot \vec{norte})

$D_{\vec{n}}(\phi) = \exp(-i\phi \hat{S}\cdot \vec{n})$

Este operador también se puede escribir, para una rotación sobre $z$ por ejemplo como:

D_{z} (ϕ) = porque (\frac{ϕ}{2}) - i σ_{z} pecado (\frac{ϕ}{2})

$D_z(\phi) = \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) - i \sigma_z \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)$

Aquí, $\hat{S}_i = \sigma_i/2$ y $\sigma_i$ son las matrices de Pauli.

$\sigma_1 = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}$ $\sigma_2 = \begin{bmatrix}0&-i\\ i&0\end{bmatrix}$ y $\sigma_3 = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1\end{bmatrix}$

Entonces hemos dado dos estados con un giro en la dirección del eje z:

$\vert S_z= + \frac{1}{2} \rangle = \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix} = \vert {\uparrow}\rangle$

y

$\vert S_z = - \frac{1}{2} \rangle = \begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix} = \vert {\downarrow}\rangle$

Ahora mi pregunta es:

con que rotacion $D_\vec{n}(\phi)$ puede el estado propio $\vert S_x = +\frac{1}{2}\rangle$ ser obtenido usando $\vert\uparrow\rangle$ ?

¿Cómo puedo calcular eso?

Respuestas (2)

Rotaciones de estados propios de SzSzS_z

ZeroTheHero · Answer 1

ZeroTheHero

La forma más sencilla de pensar en ello es pensar en el espín como un vector clásico.

¿Qué tipo de rotación tomaría un vector completamente a lo largo $\hat z$ hacia $\hat x$ ¿eje? Claramente, esto sería una rotación en el $xz$ plano, es decir, una rotación sobre $\hat y$ .

El mismo argumento funcionará para el giro. Quizá le interese reflexionar sobre la relación entre el ángulo clásico y el ángulo de rotación en el espacio de espín, recordando que $\vert +\rangle$ y $\vert -\rangle$ son vectores ortogonales en el espacio de espín pero antiparalelos en el espacio ordinario. Es por eso $\phi$ se multiplica por $1/2$ en tus expresiones.

armani42

¡Muchas gracias! Ahora tengo el siguiente resultado:

D_{y} | ↑>= c o s (ϕ / 2) - i [\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}] s i n (ϕ / 2) | ϕ >= c o s (ϕ / 2) - [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] s i n (ϕ / 2) | ↑>

$D_y |\uparrow> = cos(\phi / 2) - i \begin{bmatrix}0 & -i\\ i & 0\end{bmatrix} sin(\phi /2) |\phi> = cos(\phi / 2) - \begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} sin(\phi / 2) |\uparrow>$ ¿Y cómo demuestro ahora que esto es

| S_{x} = + 1 / 2 >

$|S_x = +1/2>$ ?

ZeroTheHero

@ Armani42 ¿Quieres estar seguro de que el

\cos (ϕ / 2)

$\cos(\phi/2)$ término se multiplica por la matriz matriz unitaria. Queda por encontrar los estados propios de

S_{x}

$S_x$ como combinaciones de estados propios de

S_{z}

$S_z$ , y encuentra el ángulo

ϕ

$\phi$ que producirá estos estados propios. Puedes adivinar

ϕ

$\phi$ de los argumentos clásicos?

armani42

Ah, está bien, y el ángulo es porque los giros giran la mitad de rápido:

ϕ

$\phi$ =

π

$\pi$ ?

ZeroTheHero

@ Armani42 ¿por qué lo intenta y ve si el resultado es un estado propio de

S_{x}

$S_x$ ?

armani42

Bien, ahora probé y me sale:

D_{y} | ↑>= [\begin{matrix} c o s (ϕ / 2) & - s i n (ϕ / 2) \\ s i n (ϕ / 2) & c o s (ϕ / 2) \end{matrix}] | ↑>

$D_y |\uparrow> = \begin{bmatrix} cos(\phi/2) & -sin(\phi/2) \\ sin(\phi/2) & cos(\phi/2)\end{bmatrix} |\uparrow>$ Y

D_{y} (π) = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

$D_y(\pi) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$ Pero no puedo tomar un valor propio de eso :/

ZeroTheHero

@ Armani42 Obviamente tu elección de ángulo y simplemente transformado

| + ⟩

$\vert +\rangle$ a

| - ⟩

$\vert -\rangle$ en el

\hat{z}

$\hat z$ base. Creo que mi comentario sobre la "velocidad de rotación" te confundió porque ya tienes una

1 / 2

$1/2$ factor en sus expresiones.

armani42

Continuemos esta discusión en el chat .

guauperrito · Answer 2

Cuando rotas los operadores de giro, es decir

D_{\vec{norte}} (ϕ) \cdot (\hat{S} \cdot \vec{metro}) \cdot D_{\vec{norte}}^{†} (ϕ),

$D_{\vec{n}}(\phi) \cdot (\hat{S} \cdot \vec{m}) \cdot D^{\dagger}_{\vec{n}}(\phi),$ es lo mismo que si girara (hacia la derecha) el vector

\vec{m}

$\vec{m}$ alrededor del vector

\vec{n}

$\vec{n}$ en ángulo

ϕ

$\phi$ . Es una consecuencia de las propiedades algebraicas de los operadores de espín (abarcan

s u (2)

$su(2)$ álgebra de mentira). Siguiendo esta analogía,

{\hat{S}}_{x, y, z}

$\hat{S}_{x,y,z}$ se puede representar como tres versores ortogonales del espacio euclidiano 3D. Si rotas el versor

e_{x}

$e_{x}$ en ángulo

ϕ = - π / 2

$\phi = -\pi/2$ alrededor

e_{y}

$e_y$ conseguirás

e_{z}

$e_z$ . Entonces, en términos de operadores de espín:

{\hat{S}}_{z} = {mi}^{i \frac{π}{2} {\hat{S}}_{y}} \cdot {\hat{S}}_{X} \cdot {mi}^{- i \frac{π}{2} {\hat{S}}_{y}} .

$\hat{S}_z = e^{i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y} \cdot \hat{S}_x \cdot e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}.$

Ahora su estado inicial es un estado propio de $\hat{S}_z$ es decir

{\hat{S}}_{z} | s_{z} = + 1 / 2 ⟩ = \frac{1}{2} | s_{z} = + 1 / 2 ⟩ .

$\hat{S}_z |s_z=+1/2\rangle = \frac{1}{2} |s_z=+1/2\rangle.$ Si usas la relación anterior puedes escribir

{\hat{S}}_{X} {mi}^{- i \frac{π}{2} {\hat{S}}_{y}} | s_{z} = + 1 / 2 ⟩ = \frac{1}{2} {mi}^{- i \frac{π}{2} {\hat{S}}_{y}} | s_{z} = + 1 / 2 ⟩,

$\hat{S}_x e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}|s_z=+1/2\rangle = \frac{1}{2} e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}|s_z=+1/2\rangle,$ y de acuerdo con la definición de estado propio

| s_{X} = + 1 / 2 ⟩ := {mi}^{- i \frac{π}{2} {\hat{S}}_{y}} | s_{z} = + 1 / 2 ⟩

$|s_x=+1/2\rangle := e^{-i\frac{\pi}{2}\hat{S}_y}|s_z=+1/2\rangle$

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guauperrito

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