Ecuaciones de Euler-Lagrange a partir de un Lagrangiano complejo

Si tiene una acción compleja, debe decidir qué necesita para ser estacionario. Puede ser a) acción siempre que su amplitud sea constante; b) acción siempre que su fase sea constante; c) amplitud de la acción; d) fase de la acción; e) parte real de la acción, etc. En cada uno de estos casos esto equivale a exigir que alguna acción real sea estacionaria, por ejemplo, en el caso c) se puede elegir una acción igual a la amplitud de la acción compleja "antigua".

Entonces, ¿qué sucede si requiere, digamos, que tanto la amplitud como la fase de la acción compleja sean estacionarias? Como cada uno de estos requisitos suele ser suficiente para obtener ecuaciones de movimiento, estos dos requisitos juntos suelen producir un sistema de ecuaciones sobredeterminado. Es posible, sin embargo, que este sistema sobredeterminado sea consistente y tenga sentido, pero no puedo ofrecer un ejemplo en este momento.

1. Un principio de acción estacionario para una acción compleja$S_c=S_1+iS_2\in \mathbb{C}$es equivalente a 2 principios de acción estacionarios reales para la parte real e imaginaria,$S_1,S_2\in\mathbb{R}$. En otras palabras, las ecuaciones EL para$S_c$son precisamente las ecuaciones EL para$S_1$y las ecuaciones EL para$S_2$. Puede ser posible organizar las ecuaciones EL para$S_c$como ecuaciones complejas, especialmente si el Lagrangiano es holomorfo.

2. En la integral de trayectoria de Feynman$Z$, la acción$S$es real, al menos en la formulación minkowskiana. Sin embargo, al evaluar la aproximación semiclásica a través del método del descenso más pronunciado , normalmente se deforma el contorno de integración en el plano complejo, lo que puede conducir a contribuciones complejas a$Z$. Los puntos estacionarios en el plano complejo pueden o no tener una interpretación física directa como soluciones a las ecuaciones EL (continuación analítica).