Ecuación de energía en mecánica cuántica

1. La ecuación de Schrödinger no se puede derivar de la física clásica. Hay varios controles de consistencia y motivaciones , como su consistencia con la conservación de la energía, pero no se deriva de esas consideraciones. Sin embargo, el hecho de que la ecuación de Schrödinger conserve energía está incorporado cuando se sabe que el hamiltoniano es el operador de energía ya que

   $$\partial_t \lvert \psi \rangle = \frac{1}{i\hbar}H\lvert \psi \rangle$$ significa que el operador de evolución temporal es$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}tH}$, por lo que el operador de energía conmuta con el operador de evolución, por lo que no importa si mido la energía antes o después de la evolución, por lo que la energía se conserva.

2. La versión cuántica de las leyes de conservación es un poco sutil, hay varias formas en las que uno puede llamar a una cantidad "conservada":

   • En la imagen de Heisenberg , los operadores dependen del tiempo y la conservación significa que la derivada temporal del operador es cero. Por la ecuación de movimiento de Heisenberg

     $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A = \frac{\mathrm{i}}{\hbar}[H,A]$$ y la correspondencia del conmutador cuántico con el clásico corchete de Poisson ¹ en la ecuación clásica de movimiento $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}A = \{A,H\}$$ muestra que las cantidades clásicamente conservadas se conservarán en la imagen de Heisenberg de esta manera.

   • Independientemente de la imagen, se podría hablar de los valores esperados de los operadores. Por el teorema de Ehrenfest

     $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A\rangle_\psi = \langle\frac{\mathrm{i}}{\hbar}[H,A]\rangle_\psi$$ de nuevo, si el conmutador con el hamiltoniano desaparece, entonces el valor esperado es constante en el tiempo.

En total, ves que un observable se conserva cuando conmuta con el hamiltoniano. Sin embargo, dado que los observables no tienen valores definidos para la mayoría de los estados, uno debe tener cuidado con lo que quiere decir exactamente cuando dice que algo se conserva mecánicamente cuánticamente.

Esto se vuelve más sutil en las teorías cuánticas de campos, donde las declaraciones adecuadas sobre las cantidades conservadas son las identidades de Ward-Takahashi .

^{1 La ingenua receta de cuantización canónica está reemplazando$\{,\}$por$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[,]$. Esto podría fallar en algunos casos y requerir correcciones cuánticas de orden.$\hbar^2$, vea también esta publicación de Phys.SE .}

La mecánica cuántica no se deriva de la mecánica clásica o la conservación de la energía, pero hay "puntos de partida" en la mecánica clásica que pueden servir para responder a su pregunta.

Si estudias mecánica clásica en un nivel suficientemente avanzado, descubrirás el formalismo hamiltoniano. El hamiltoniano para un sistema aislado con solo interacciones conservativas es la energía y se conserva. En tales sistemas es una función de las coordenadas generalizadas (q) y sus derivadas temporales ($H(q, \frac{dq}{dt})$). En el formalismo hamiltoniano hay entidades llamadas corchetes de Poisson (te dejo que busques su definición pero se representan así [a,b]). Una vez que comprenda los corchetes de Poisson, podrá demostrar que las ecuaciones de movimiento de su sistema son:

Ahora saltemos de la mecánica clásica a la mecánica cuántica. La hipótesis de Planck era que las energías ya no son continuas sino discretas (siempre proporcionales a la constante de Planck h). Se vio obligado a introducir esta suposición para derivar la curva de radiación del cuerpo negro. Heisenberg se dio cuenta de que podía conservar la mayor parte del formalismo clásico si introducía operadores para las variables clásicas y asociaba su paréntesis de Poisson con el operador conmutador de esta manera:

Schrödinger se dio cuenta de que podía formar una ecuación diferencial para algo llamado función de onda al sustituir los operadores de Heisenberg en la función hamiltoniana clásica. Tomó un tiempo para que la interpretación de la probabilidad de la función de onda cuajara y probara que el enfoque de la ecuación de Schrödinger era completamente equivalente a la mecánica matricial de Heisenberg, pero así es como nació la mecánica cuántica (juego de palabras). Para no ser rechazado por menospreciar a Bohr y la Vieja Teoría Cuántica (OQT), debo añadir que considero que la OQT es la gestación (no el nacimiento) de la teoría cuántica.

Hagamos las cosas un poco más divertidas.

1. ¿Cómo podemos usar la ecuación de conservación de la energía para derivar la ecuación de Schrödinger en QM?

Digamos que conocemos el espacio de Hilbert del sistema$\mathcal H$y sabemos cómo definir un hamiltoniano$H:\mathcal H \rightarrow \mathcal H$cuyo valor medio$\langle \psi | H | \psi\rangle$proporciona la energía promedio en el estado$|\psi\rangle \in \mathcal H$.

Queremos una ecuación de evolución para$|\psi\rangle$que satisfaga las siguientes condiciones simples:

• Conserva energía:

  $$\frac{d}{dt}\langle \psi | H | \psi\rangle = \langle \dot\psi | H| \psi \rangle + \langle \psi | H | \dot\psi \rangle = 0$$

• Conserva la probabilidad:

  $$\frac{d}{dt}\langle \psi | \psi\rangle = \langle \dot\psi | \psi \rangle + \langle \psi | \dot\psi \rangle = 0$$

• Hace lo anterior de una manera no trivial, tal que$| \dot \psi \rangle \neq 0$, o equivalente,$\langle \dot \psi | \dot \psi \rangle > 0$. De hecho, podemos exigir que$| \dot \psi \rangle$ser tal que$\langle \dot \psi | \dot \psi \rangle > 0$es máximo bajo las restricciones anteriores (el mínimo es aburrido) y por lo tanto exige la siguiente ecuación variacional:

  $$\delta_{\dot\psi^*, \dot\psi} \left[ \langle \dot \psi | \dot \psi \rangle - \lambda \left( \langle \dot\psi | H| \psi \rangle + \langle \psi | H | \dot\psi \rangle \right) - \mu \left( \langle \dot\psi | \psi \rangle + \langle \psi | \dot\psi \rangle \right) \right] = 0$$ dónde$\lambda$,$\mu$son por el momento parámetros variacionales reales. Notemos, sin embargo, que las transformaciones de la forma$|\dot\psi\rangle \rightarrow |\dot\psi\rangle - i\alpha H |\psi\rangle - i\beta |\psi\rangle$, por real arbitrario$\alpha$,$\beta$, deje invariables ambas restricciones de conservación, mientras cambia la ecuación variacional a $$\delta_{\dot\psi, \dot\psi^*} \left[ \langle \dot \psi | \dot \psi \rangle - \lambda \langle \dot\psi | H| \psi \rangle - \lambda^* \langle \psi | H | \dot\psi \rangle - \mu \langle \dot\psi | \psi \rangle - \mu^* \langle \psi | \dot\psi \rangle \right] = 0$$ donde nos ponemos$\lambda + i \alpha \rightarrow \lambda$,$\mu + i \beta \rightarrow \mu$e ignoró los términos que no contienen$\dot\psi$,$\dot\psi^*$ya que no contribuyen a las variaciones. Requerir que esta ecuación variacional también se deje invariante por tales transformaciones nos dice que la forma correcta debe ser la anterior, con$\lambda$,$\mu$parámetros complejos. Tomando ahora las variaciones de$\langle \dot\psi |$,$|\dot\psi\rangle$da respectivamente $$|\dot\psi\rangle = \lambda H |\psi\rangle + \mu |\psi\rangle \\ \langle \dot\psi | = \lambda^* \langle \psi | H + \mu^* \langle \psi |$$ Las dos restricciones de conservación entonces producen $$Re\lambda \;\langle \psi | H | \psi\rangle + Re\mu \;\langle \psi | \psi\rangle = 0 \\ Re\lambda \;\langle \psi | H^2 | \psi\rangle + Re\mu \;\langle \psi | H | \psi\rangle = 0$$ y por lo tanto $$Re\lambda = Re\mu = 0$$ a menos que$\langle \psi | (\Delta H)^2 | \psi\rangle = 0$. esto nos deja $$|\dot\psi\rangle = i\; Im\lambda \;H |\psi\rangle + i\;Im\mu \;|\psi\rangle$$ o después de absorber$Im\mu$como factor de fase ($|\psi\rangle \rightarrow e^{iIm\mu t}|\psi\rangle$, asumiendo$Im\mu$tiempo independiente; de lo contrario, use la integral de tiempo en el exponente), $$|\dot\psi\rangle = i \;Im\lambda \;H |\psi\rangle$$ Por fin, la naturaleza nos dice que identifiquemos$i\; Im\lambda = \frac{1}{i\hbar}$, y he aquí la ecuación de Schroedinger: $$i\hbar|\dot\psi\rangle = H |\psi\rangle$$
  2. ¿Cuál es la validez de la ecuación de conservación de la energía en QM?

Muy válido en el sentido de que se conserva el promedio, como el anterior. La respuesta de ACuriousMind cubre los detalles en un contexto más amplio.