Evolución temporal de los estados - ¿La energía total es constante o no?

Supongamos que el estado de la partícula se da de la siguiente manera:

| ψ ( t ) ⟩ = 1 2 ( mi − i ω t 2 | 0 ⟩ + mi − 3 i ω t 2 | 1 ⟩ )

Donde las funciones de onda son: ϕ 0 = ( 1 a 2 π ) 1 4 mi − X 2 2 a 2 y ϕ 1 = ( 4 a 6 π ) 1 4 X   mi − X 2 2 a 2 .

He encontrado la posición y el impulso esperados con el tiempo:

⟨ ψ ( t ) | X | ψ ( t ) ⟩ = a 2 porque ⁡ ( ω t )

⟨ ψ ( t ) | pag ^ | ψ ( t ) ⟩ = i ℏ a 2 porque ⁡ ( ω t )

Luego trato de calcular la tasa de cambio de energía:

d d t [ ⟨ ψ ( t ) | pag ^ | ψ ( t ) ⟩ + metro ω 2 ⟨ ψ ( t ) | X | ψ ( t ) ⟩ ] = − ( i ℏ a 2 + a 2 metro ω 3 ) pecado ⁡ ( ω t )

Esto significa que la energía total fluctúa con el tiempo, lo cual es extraño, ya que ¿no debería conservarse la energía total?

Respuestas (1)

Parece que está trabajando con el oscilador armónico simple unidimensional, en cuyo caso la expresión entre paréntesis para la que ha calculado la derivada temporal no es el valor esperado del hamiltoniano. Su pag ^ debe ser elevado al cuadrado y dividido por 2 metro y X ^ debe estar al cuadrado.

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¿No debería conservarse la energía total?

En este caso, el valor esperado del hamiltoniano debe conservarse porque no tiene una dependencia temporal explícita. Para ser más explícito, recuerde que, en general, la derivada temporal del valor esperado de cualquier valor observable O ^ satisface

d d t ⟨ ψ ( t ) | O ^ | ψ ( t ) ⟩ = i ℏ ⟨ ψ ( t ) | [ H ^ , O ^ ] | ψ ( t ) ⟩ + ⟨ ψ ( t ) | ∂ O ^ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ .
Como caso especial, la derivada temporal del valor esperado del hamiltoniano satisface
d d t ⟨ ψ ( t ) | H ^ | ψ ( t ) ⟩ = ⟨ ψ ( t ) | ∂ H ^ ∂ t | ψ ( t ) ⟩
desde [ H ^ , H ^ ] = 0 . Por lo tanto en cualquier momento ∂ H ^ / ∂ t = 0 , se conserva el valor esperado del hamiltoniano.

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