Caja cuadrada infinita 1D ¿Niveles de energía discretos pero momentos continuos?

El operador de momento$P$en el pozo infinito se puede definir como un operador autoadjunto de infinitas maneras con respecto a las condiciones de contorno por:

$$P_\theta=-i\hbar\frac{d}{dx}\\ \mathcal{D}(P_\theta)=\left\{\psi\in \mathcal{H}^1[0,a]:\psi(a)=e^{i\theta}\psi(0)\right\},$$ dónde $\mathcal{H}^1[0,a]$es el espacio de Sobolev , en el intervalo $[0,a]$. En cualquier caso, el espectro es puramente discreto, lo que se puede ver resolviendo la ecuación de valor propio $$P_\theta\psi_n=\lambda_{\theta,n}\psi_n$$ La ecuación da los valores propios $$\lambda_{\theta,n}=\frac{2\pi\hbar}{a}\left(n+\frac{\theta}{2\pi}\right), \qquad n\in\Bbb{Z},$$ con funciones propias $$\psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt a}\exp\left(\frac{i\lambda_{\theta,n}x}{\hbar}\right),$$ que constituye una base para el espacio de Hilbert $\mathcal{H}=L^2[0,a]$.

Editar: con respecto a los comentarios, ver el pozo infinito como un procedimiento limitante del pozo finito conduce a que las condiciones de contorno en el hamiltoniano estén dadas por:

$$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\\ \mathcal{D}(H)=\left\{\psi \in \mathcal{H}^2[0,a]:\psi(0)=\psi(a)=0\right\},$$ así, aunque la acción de $H$parece dar la idea de que las funciones propias de momento son también funciones propias de energía, esto es falso, porque la acción no está definida, ya que las funciones no están en $\mathcal{D}(H)$.

Usando condiciones de frontera tales que$\psi(0)=\psi(a)=0$porque el operador moimentum no da un operador autoadjunto , ya que el operador adjunto$P^*$tiene un dominio más grande, en este caso$\mathcal{D}(P^*)=\mathcal{H}^1[0,a]$. Como los observables deben representarse mediante operadores autoadjuntos y no solo simétricos, esta condición de contorno no es válida. Consulte este artículo para una mejor discusión.

En la partícula 1d en el cuadro, la energía de la partícula debe estar completamente determinada por el momento de la partícula que observa, ¿correcto?

El hamiltoniano en la base de posición es

$$\hat H = \begin{cases}-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}, & 0\lt x \lt a\\\infty, & \text{otherwise} \end{cases}$$

y las funciones propias de energía son de la forma

$$\psi_n(x,t) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{n\pi}{a}x \right)\left[\theta(x) - \theta(x - a)\right]e^{-i\omega_nt}$$

que claramente no son funciones propias del impulso. Entonces, no, la declaración citada no es correcta.

Entonces, ¿cómo se pueden tener niveles de energía discretos y un espectro de momento continuo al mismo tiempo?

Este potencial no permite un espectro de momento continuo.

Es cierto que podemos encontrar la continua$\phi_n(p,t)$y ampliar$\psi_n(x,t)$sobre las funciones propias del impulso.

Sin embargo, pensando claramente en esto, las funciones propias de energía solo están completas en el intervalo$[0,a]$. Es decir, no podemos expandir una función propia de cantidad de movimiento sobre las funciones propias de energía.

Dicho de otra manera, el operador$i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$no tiene funciones propias para este potencial.