¿Se mantiene la conservación de la energía en la mecánica cuántica? [duplicar]

Question

¿Se mantiene la conservación de la energía en la mecánica cuántica? [duplicar]

Cachemira

Digamos que tenemos una partícula en un pozo infinito y profundo que es $V(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & 0 \leq x \leq L \\ \infty & \text { elsewhere }\end{array}\right.$ .

Las energías correspondientes a varios estados se dan como $E_n=\frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2 m L^{2}}$ .Esto significa que la partícula puede tener diferentes energías en diferentes medidas. Pero esto va en contra de la regla de que la energía total de un sistema permanece constante, porque si mido la energía ahora es algo y más adelante puede ser otra cosa, ¡violando la conservación de la energía! ¿Dónde estoy equivocado?

Cosmas Zachos

Tome cualquier estado de superposición que desee y calcule la variación en el tiempo del valor esperado de la energía en este estado. ¿Es que no se desvanece?

ZeroTheHero

si empiezas en el estado

ψ_{n} (x)

$\psi_n(x)$ con energia

E_{n}

$E_n$ , el sistema permanecerá en este estado. La energía se conserva.

Cachemira

@ZeroTheHero gracias. Pero he estudiado que tan pronto como dejamos de medir, la función de onda evoluciona de nuevo y en la próxima medición podríamos encontrar la partícula en algún otro estado.

ZeroTheHero

sí, pero si comienza con un estado de energía definido, el sistema evoluciona "solo a ese estado" y la energía se conserva.

ZeroTheHero

(o al menos solo a otro estado de la misma energía)

Cachemira

"pero si comienzas con un estado de energía definido, el sistema evoluciona "solo a ese estado" "¿es eso un postulado de la mecánica cuántica?

charlie

Tienes razón en que esto parece una contradicción. La energía es una medida especial: en un sistema aislado, una vez que se mide un valor propio particular del hamiltoniano (la energía), el sistema evoluciona de tal manera que la medición repetida del hamiltoniano arroja el mismo valor propio indefinidamente.

ZeroTheHero

El operador de evolución es

\exp (- i t H / ℏ)

$\exp(-i t H/\hbar)$ entonces para un estado propio de

H

$H$ , es decir, un estado

ψ_{n} (x)

$\psi_n(x)$ de energía definida,

H ψ_{n} (x) = E_{n} ψ (x)

$H\psi_n(x)=E_n\psi(x)$ y la evolucion

\exp (- i t H / ℏ) ψ_{n} (x) = \exp (- i t E_{n} / ℏ) ψ_{n} (x)

$\exp(-i t H/\hbar)\psi_n(x)= \exp(-i t E_n/\hbar)\psi_n(x)$ sin cambiar

ψ_{n} (x)

$\psi_n(x)$ .

Respuestas (2)

¿Se mantiene la conservación de la energía en la mecánica cuántica? [duplicar]

Tome cualquier estado de superposición que desee y calcule la variación en el tiempo del valor esperado de la energía en este estado. ¿Es que no se desvanece?
si empiezas en el estado $\psi_n(x)$ con energia $E_n$ , el sistema permanecerá en este estado. La energía se conserva.
@ZeroTheHero gracias. Pero he estudiado que tan pronto como dejamos de medir, la función de onda evoluciona de nuevo y en la próxima medición podríamos encontrar la partícula en algún otro estado.
sí, pero si comienza con un estado de energía definido, el sistema evoluciona "solo a ese estado" y la energía se conserva.
"pero si comienzas con un estado de energía definido, el sistema evoluciona "solo a ese estado" "¿es eso un postulado de la mecánica cuántica?
Tienes razón en que esto parece una contradicción. La energía es una medida especial: en un sistema aislado, una vez que se mide un valor propio particular del hamiltoniano (la energía), el sistema evoluciona de tal manera que la medición repetida del hamiltoniano arroja el mismo valor propio indefinidamente.
El operador de evolución es $\exp(-i t H/\hbar)$ entonces para un estado propio de $H$ , es decir, un estado $\psi_n(x)$ de energía definida, $H\psi_n(x)=E_n\psi(x)$ y la evolucion $\exp(-i t H/\hbar)\psi_n(x)= \exp(-i t E_n/\hbar)\psi_n(x)$ sin cambiar $\psi_n(x)$ .

ana v · Answer 1

¿Qué es una ley en física?

Una ley es una destilación de observaciones y medidas que al imponerse a los modelos matemáticos de la física, recoge aquellas soluciones que se ajustan a los datos que impuso la ley, de modo que existe una teoría física predictiva.

En las teorías de la física clásica, las leyes de conservación de la energía, junto con la conservación de la cantidad de movimiento y la cantidad de movimiento angular, tienen la fuerza de los axiomas, y siempre se han encontrado verdaderas.

En la mecánica cuántica, existe una conexión diferente entre las mediciones en el laboratorio y las variables utilizadas en la teoría, porque las predicciones se basan en la probabilidad de observar un vector de cuatro $(p_x,p_y,p_z,E)$ para una partícula dada. El experimento que diseñaste es teórico, tu partícula no puede ser observada. Para ser observado debe haber una interacción, lo que no puede ocurrir en un pozo de potencial infinito con una partícula.

En los comentarios se señala que si su problema está correctamente formulado matemáticamente, no hay violación de la conservación de la energía, porque los estados probables ocupados por la partícula no son observables. Existe la probabilidad de que la partícula se encuentre en uno de los estados de energía dados, pero no tiene ningún método para medirlo. Las funciones de onda no son observables, sólo $Ψ^*Ψ$ es observable, y es una distribución de muchas medidas.

Si se encuentra en ese estado de valor propio, será estable allí como dicen los comentarios.

Viraj Meruliya · Answer 2

Si comienza con un estado $\psi(x,t)$ y realiza una medición de energía, encontrará que el estado se encuentra en uno de los estados propios de energía en la descomposición de $\psi$ . Dado que, después de una medición, el estado del sistema colapsa a un estado propio de energía y para tal estado, la evolución por hamiltoniano solo introduce una fase a la función de onda, las mediciones posteriores darán el mismo resultado para el valor de la energía, consistente con la conservación de la energía.

En mecánica cuántica, sin embargo, puede pensar en la conservación de energía en términos de valores esperados cuando no está realizando ninguna medición. Considere un operador $A$ y estado $\psi$ . Entonces nosotros tenemos

$\frac{d\langle A\rangle_{\psi}}{dt} = i\langle [H,A]\rangle_{\psi} + \langle \frac{\partial A}{\partial t} \rangle_{\psi}$

Porque, el caso cuando $A=H$ y $H$ no depende del tiempo explícitamente, tenemos que

$\frac{d\langle H\rangle_{\psi}}{dt} =0$

"el sistema está en un estado propio de energía y, por lo tanto, las mediciones posteriores darán el mismo resultado para el valor de la energía" ¿cómo puedes decir eso?
Porque después de una medición, el estado del sistema colapsa a un estado propio de energía y para tal estado, la evolución hamiltoniana solo introduce una fase en la función de onda.

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