¿Cuál es la conexión entre los soportes de Poisson y los conmutadores?

Los corchetes de Poisson juegan más o menos el mismo papel en la mecánica clásica que los conmutadores en la mecánica cuántica. Por ejemplo, la ecuación de Hamilton en la mecánica clásica es análoga a la ecuación de Heisenberg en la mecánica cuántica:

$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} &= \{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t} & \frac{\mathrm{d}\hat f}{\mathrm{d}t} &= -\frac{i}{\hbar}[\hat f,\hat H] + \frac{\partial \hat f}{\partial t}\end{align}$$

dónde$H$es el hamiltoniano y$f$es una función de las variables de estado$q$y$p$(en la ecuación clásica), o un operador que actúa sobre el estado cuántico$|\psi\rangle$(en la ecuación cuántica). El sombrero indica que es un operador.

Además, cuando estás convirtiendo una teoría clásica a su versión cuántica, la forma de hacerlo es reinterpretar todas las variables como operadores y luego imponer una relación de conmutación en los operadores fundamentales:$[\hat q,\hat p] = C$dónde$C$es una constante. Para determinar el valor de esa constante se puede utilizar como motivación el corchete de Poisson de las cantidades correspondientes en la teoría clásica, según la fórmula$[\hat q,\hat p] = i\hbar \{q,p\}$. Por ejemplo, en mecánica cuántica básica, el conmutador de posición y momento es$[\hat x,\hat p] = i\hbar$, porque en la mecánica clásica,$\{x,p\} = 1$.

Los anticonmutadores no están directamente relacionados con los corchetes de Poisson, pero son una extensión lógica de los conmutadores. Después de todo, si puede fijar el valor de$\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$y obtener una teoría sensata de eso, es natural preguntarse qué tipo de teoría obtendría si fijara el valor de$\hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A}$en cambio. Esto juega un papel importante en la teoría cuántica de campos, donde arreglar el conmutador te da una teoría de los bosones y arreglar el anticonmutador te da una teoría de los fermiones.

De acuerdo con el tema de la cuantización de la deformación , las primeras entradas en el diccionario entre

$$\text{Quantum Mechanics}\quad\longleftrightarrow\quad\text{Classical Mechanics}\tag{0}$$

leer

$$\text{Operator}\quad\hat{f}\quad\longleftrightarrow\quad\text{Function/Symbol}\quad f,\tag{1}$$

$$\text{Composition}\quad\hat{f}\circ\hat{g} \quad\longleftrightarrow\quad\text{Star product}\quad f\star g ,\tag{2}$$ y

$$\text{Commutator}\quad [\hat{f},\hat{g}] \quad\longleftrightarrow\quad\text{Poisson bracket}\quad i\hbar\{f,g\}_{PB} + \color{red}{{\cal O}(\hbar^2)}. \tag{3}$$

Tenga en cuenta que la correspondencia (0) depende de los símbolos que se usen, por ejemplo, símbolos de Weyl , y que en general podría haber correcciones cuánticas de orden superior$\color{red}{{\cal O}(\hbar^2)}$en la identificación (3).

Ejemplo 1: ( CCR fundamental )

$$[\hat{q},\hat{p}]~=~i\hbar{\bf 1}\quad\longleftrightarrow\quad \{q,p\}_{PB}~=~1.\tag{4}$$

Ejemplo 2:

$$[\hat{q}^2,\hat{p}^2]~=~4[\hat{q},\hat{p}]~ (\hat{q}\hat{p})_W\quad\longleftrightarrow\quad \{q^2,p^2\}_{PB}~=~4\{q,p\}_{PB} ~qp, \tag{5}$$ dónde$(\ldots)_W$significa Weyl-simetrización de operadores. Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Ejemplo 3:

$$[\hat{q}^3,\hat{p}^3]~=~9[\hat{q},\hat{p}]~ (\hat{q}^2\hat{p}^2)_W + \color{red}{\frac{3}{2}[\hat{q},\hat{p}]^3}\quad\longleftrightarrow\quad \{q^3,p^3\}_{PB}~=~9\{q,p\}_{PB}~ q^2p^2.\tag{6}$$ Tenga en cuenta que hay correcciones cuánticas de orden superior$\color{red}{{\cal O}(\hbar^3)}$en la ec. (6) incluso después de la simetrización de Weyl.

Tanto el conmutador (de matrices) como el soporte de Poisson satisfacen la identidad de Jacobi,$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$.

Esta es la razón por la que Dirac se inspiró en el uso de conmutadores de Heisenberg para desarrollar un estilo dinámico de mecánica cuántica de Hamilton-Jacobi que proporcionó la primera unificación real de la mecánica matricial de Heisenberg con la mecánica ondulatoria de Schroedinger. La identidad de Jacobi es también la ley básica de las álgebras de Lie, que son útiles para los grupos de simetría en la teoría cuántica.

En mecánica clásica, las variables dinámicas son las funciones$f$en el espacio de fase, y obtienen una estructura algebraica no trivial del corchete de Poisson. Son los clásicos «observables». En mecánica cuántica, los observables son matrices, estas son las variables dinámicas, pero reciben una estructura algebraica similar del conmutador.

Como ya se señaló, el anticonmutador no es análogo al corchete de Poisson, es un fenómeno cuántico claramente nuevo sin un análogo clásico.

En cuanto a la importancia del momento y la posición de los observables, existen muchas similitudes entre la mecánica clásica y la cuántica. Se han señalado algunas de las relaciones algebraicas.

Al final, todavía hay una diferencia importante, que es obvia por el hecho de que el álgebra de funciones generada por cantidades clásicas es conmutativa

$$q·p=p·q,$$ y el otro no $$Q\ P\ne P\ Q=Q\ P-[Q,P\ ].$$ Uno podría preguntarse si existe una estructura para el álgebra de función clásica de $q$y $p$con un producto, que se asemeja al álgebra mecánica cuántica $Q$y $P$. Es decir, hay un producto, vamos a denotarlo por $\star\ $, para cual $$q\star p-p\star q=[q\ \overset{\star}{,}\ p]\ \ \Longleftrightarrow\ \ [Q,P\ ]=Q\ P-P\ Q.$$

Puede encontrar más preguntas con este espíritu en Cuantificación de Weyl .

El producto estrella más investigado es el producto Moyal , que por definición cumple

$$[f\ \overset{\star}{,}\ g]=i\hbar\ \{f,g\}+\mathcal O(\hbar^2).$$

Las medallas Fields se ganan por este tipo de cosas.

No conozco ningún vínculo entre el soporte de Poisson y el anticonmutador, pero sí conozco el vínculo entre el soporte de Poisson y el conmutador.

$$[\hat a,\hat b]=i\hbar\{a,b\}_\text{Poisson}$$

sutilezas

como el operador$\hat a$y$\hat b$son contrapartes de la variable dinámica clásica, deben ser ① funciones de coordenadas canónicas y momentos (descartando el giro, que no se puede poner en un corchete de Poisson) ② operadores hermitianos (pruebe$[\hat{x}\hat{p},\hat{p}\hat{x}]$).

Además, el signo de igualdad no es realmente una igualdad, porque los rhs son números conmutativos mientras que los lhs son operadores no conmutativos, así que debes tener cuidado al relacionar dos lados. Por ejemplo, la analogía cuántica de$xp$Es ninguno$\hat{x}\hat{p}$o$\hat{p}\hat{x}$, pero$\frac{1}{2}\left(\hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p}\right)$.