¿Qué razones fundamentales implican la cuantización?

1) "Cuando una función de onda cuántica está en un pozo de potencial, ¿qué causa la cuantización? ¿La finitud del pozo, o solo el término con ℏ en la ecuación de Schrödinger?"

Para el pozo de potencial cuántico finito , los posibles valores discretos para$E_n \sim \hbar ^2 v_n$donde el$v_n$son soluciones discretas a ecuaciones no triviales debido a las condiciones de contorno (consulte los detalles en la referencia de Wikipedia anterior). Puede ver directamente en la fórmula que tanto la ecuación de Schrödinger (por lo tanto, la mecánica cuántica y$\hbar$), y las condiciones de contorno son necesarias para tener valores discretos para$E_n$

2) ¿Existe una analogía entre estos dos enfoques? ¿La ecuación de Schrödinger se debe fundamentalmente a una especie de condición de contorno, que da su valor a la constante de Planck ℏ?

No, esto no se debe a condiciones límite.

La base de la mecánica cuántica es que la posición y el momento ya no son cantidades conmutativas, sino operadores lineales (matrices infinitas), tales que, al mismo tiempo,$[X^i,P_j]= \delta^i_j ~\hbar$.

Ahora, puede tener diferentes representaciones para estos operadores.

En la representación de Schrödinger, consideramos que estos operadores lineales se aplican sobre vectores$|\psi(t)\rangle$(llamados estados). La amplitud de probabilidad$\psi(x,t)$es la coordenada del vector$|\psi(t)\rangle$en la base$|x\rangle$. En esta representación, usted tiene$X^i\psi(x,t) = x^i\psi(x,t), P_i\psi(x,t) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x^i}\psi(x,t)$. Esto se extiende también a la energía, con$E\psi(x,t) = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)$. Esta última igualdad es coherente con la definición del operador de momento si nos fijamos en las ondas de de Broglie

3) Se puede obtener un análogo de la ecuación de Schrödinger si el espacio fuera discreto . ¿Es posible derivar la ecuación de Schrödinger a partir de tal descripción del espacio y el tiempo?

En la referencia que diste, no hay espacio discreto, y no hay tiempo discreto, el$\psi_i(t)$son solo las coordenadas del vector$|\psi(t)\rangle$en alguna base$|i\rangle$

Bueno, me suena un poco contradictorio escuchar "razones implican".

Además de eso, hiciste una pregunta muy compleja.

En mecánica cuántica, la cuantización se obtiene a partir de la ecuación de Schrödinger, que es, que yo sepa, un postulado. No requiere pozo de potencial.

Sí, pero no salió de la nada. Como la mayoría de los postulados, surgió después de ver que es válido en un caso particular: las ondas de Schrödinger. El gran descubrimiento real es la hipótesis de De Broglie. La ecuación de Schrödinger es la ecuación de onda de una onda con velocidad de grupo dos veces la velocidad de fase (+datos experimentales para las constantes). El postulado es la generalización para cualquier ket.

Cuando una función de onda cuántica está en un pozo de potencial, ¿qué causa la cuantización? ¿La finitud del pozo, o solo el término con ℏℏ en la ecuación de Schrödinger?

Como resultado, una partícula de espín 0 en realidad se comporta como un paquete de ondas en un pozo de potencial y, por lo tanto, produce ondas estacionarias.

Vamos a resumirlo para que quede más claro. Aunque los postulados funcionan perfectamente, me gusta tener en cuenta de dónde viene todo. La gran idea fue la dualidad onda-partícula. La ecuación de Schrödinger es análoga a la ecuación de onda de cualquier onda cuya velocidad de grupo sea la mitad de la velocidad de fase. La única diferencia es el valor de las constantes.

Esas constantes fueron encontradas experimentalmente por diferentes experimentos con extraordinaria concordancia (cuerpo negro, efectos fotoeléctricos y compton...).

Entonces, el postulado solo generaliza eso a cualquier ket, no solo al equivalente de una función de onda de 0-spin.

Supongo que la respuesta más simple es porque experimentalmente eso es lo que se observa en la naturaleza. Constante de Planck,$h$, fue "descubierto" por Max Planck al estudiar la radiación del cuerpo negro. Se utilizaron dos ecuaciones diferentes para predecir este fenómeno en ese momento (Raleigh-jeans y Wien aproximadamente). Ambos fueron muy precisos para un cierto intervalo de longitudes de onda y divergieron dramáticamente de lo que se estaba encontrando en los experimentos para otros.$h$fue solo una constante que usó para hacer que la curva teórica "se ajustara" a los datos reales. La relación$E=hf$Fue introducido por Einstein para explicar el efecto fotoeléctrico. De manera similar, en este caso, la teoría ondulatoria de la luz hizo predicciones inconsistentes con lo que se observó experimentalmente. Al asumir que la luz también era una partícula, pero con características similares a las de una onda (llamada fotón), pudo explicarlo. En particular, si se supone que un electrón que absorbe un solo fotón de luz aumenta su energía en una cantidad igual a$E=hf$, el comportamiento predicho del sistema se correspondía perfectamente con los datos experimentales. Para un pozo de potencial, matemáticamente la cuantización es el resultado de la naturaleza sinusoidal de las ecuaciones de Schrödinger y las condiciones de contorno. La ecuación de Schrödinger tiene la misma forma que la ecuación de onda general. Devuelve una onda con longitud de onda$\lambda = h/mv$, llamada longitud de onda de De-Broglie. Cuando toca una cuerda, solo se permiten ciertas longitudes de onda. Esto se debe a que las condiciones de contorno en los bordes de la cuerda requieren que ambos extremos estén estacionarios. Es exactamente lo mismo en un pozo potencial. En términos generales, puede pensar en la partícula que crea una onda estacionaria entre las paredes, y las condiciones de contorno solo permiten ciertas longitudes de onda. Cada longitud de onda corresponde a una energía diferente, lo que significa que solo se permiten ciertas energías.

Fred también, para tu pregunta sobre el operador de impulso. Este es el razonamiento. La solución a la ecuación de Schrödinger tiene la forma$\psi = e^{ikx}$

dónde$k = 2\pi/ \lambda = 2\pi \bigg/ (h/p) = p \bigg/ (h/2\pi) = p/\hbar$

Queremos que el valor propio del operador de cantidad de movimiento sea la cantidad de movimiento. Asi que

$d\psi /dx = d/dx(e^{ikx}) = ike^{ikx} = ik\psi = \frac{ip}{\hbar} \psi$

y por lo tanto:

En particular