Justificación del espectro discreto para V(x) ilimitado en ±∞±∞\pm \infty en Pauling y Wilson

Puedes pensar en "resolver ecuaciones X en Y incógnitas". Cuando$X>Y$, generalmente espera soluciones infinitas, cuando$X=Y$generalmente espera una solución única, cuando$X<Y$generalmente no espera soluciones. Este tipo de declaración no siempre es matemáticamente rigurosa, pero por lo general se puede argumentar con rigor en circunstancias específicas.

Elige una energía$W$y un punto arbitrario$x$. Puede elegir dos valores reales cualesquiera para$\psi(x)$y$\psi'(x)$: Tiene dos parámetros ajustables continuos aquí. Vaya, en realidad no. Debido a que la ecuación diferencial es homogénea, puede suponer (sin pérdida de generalidad) que$\psi(x)$es 1 o 0. Entonces, en realidad solo tiene un parámetro ajustable continuo. Supongamos a partir de ahora que$\psi(x)=1$, porque el$\psi(x)=0$caso es en realidad equivalente a un caso especial de$\psi(x)=1$con la pendiente hacia$\pm \infty$.

"Ir a cero a la derecha" es una restricción, por lo que tenemos una restricción y un parámetro ajustable. Por lo general, esperamos una solución única. De hecho, creo que se puede demostrar rigurosamente que aquí hay una solución única, porque el comportamiento asintótico se relaciona monótonamente con$\psi'(x)$.

De manera similar, "ir a cero a la izquierda" es una restricción, por lo que hay un valor único de$\psi'(x)$que satisface esta restricción.

Ahora definimos una función$R(W)$cual es el valor de$\psi'(x)$que hace que la solución vaya a cero a la derecha en energía$W$; y de manera similar$L(W)$a la izquierda. Las soluciones se dan en los cruces donde$L(W) = R(W)$.

Por lo general, cuando dibuja dos curvas 1D, se cruzan entre sí solo en puntos discretos, en lugar de, por ejemplo, superponerse perfectamente en un intervalo continuo.

¿Podemos probar rigurosamente que no tienes la extraña circunstancia en la que$L(W) = R(W)$durante todo un intervalo continuo de diferentes$W$? Presumiblemente puedes probarlo de alguna manera, pero no estoy seguro de los detalles...

Lo primero que intentaría es encontrar una expresión para las derivadas$L'(W)$y$R'(W)$, en términos de$V$, y espero poder probar que no pueden ser iguales en un intervalo completo. Algo como eso...