Distribución de Fermi-Dirac en el límite de alta temperatura

Estoy leyendo "Transporte electrónico en sistemas mesoscópicos" de Supriyo Datta y estoy un poco confundido por su discusión sobre la función de distribución de Fermi Dirac, que está dada por:

F ( mi ) = 1 Exp ⁡ [ mi − mi F k B T ] + 1 ,

dónde mi es la energía de un estado, T es la temperatura, mi F es la energía de Fermi (el estado ocupado más alto en T = 0 ) y k B es la constante de Boltzmann.

El autor afirma que en la "...alta temperatura o el límite no degenerado ( Exp ⁡ [ mi − mi F ] / k B T ≫ 1 ) tiene la siguiente forma simple:

F ( mi ) ≈ Exp ⁡ [ − ( mi − mi F ) / k B T ] .

Pregunta : Estoy de acuerdo en que cuando la exponencial domina al denominador, este es el resultado, pero ¿hay alguna justificación para llamarlo límite de alta temperatura ?

De hecho, creo que si la temperatura es alta, tendría sentido decir que mi − mi F k B T ≪ 1 ¡en cuyo caso el exponencial no domina al denominador en absoluto!

Lo descartaría como un error tipográfico, pero cuando miro un gráfico de distribuciones de Fermi-Dirac para diferentes temperaturas, parece que toman la forma de una función que decae exponencialmente cuando la temperatura es alta:

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Respuestas (1)

A menos que esté en el límite de temperatura baja, entonces la distribución FD debe escribirse como

F ( mi ) = [ Exp ⁡ ( mi − m ) / k T + 1 ] − 1 ,
dónde m es el potencial químico.

Creo que lo que te estás perdiendo es que el potencial químico no es una constante, depende de la temperatura. Entonces a altas temperaturas m < 0 y Exp ⁡ ( − m / k T ) ≫ 1 . Podría echar un vistazo a esta respuesta a otra pregunta para obtener una explicación de por qué es así.

De este modo

[ Exp ⁡ ( mi − m ) / k T + 1 ] − 1 ≃ [ Exp ⁡ ( − m / k T ) Exp ⁡ ( mi / k T ) ] − 1 = Exp ⁡ ( m / k T ) Exp ⁡ ( − mi / k T )
que es la distribución de Boltzmann y es ≪ 1 para todos mi .

Bien, gracias por tu respuesta. Conocía esta diferencia entre el potencial químico y la energía de Fermi, pero estaba siguiendo al autor del libro de texto bastante ingenuamente. Solo una nota de que sin leer el enlace a una pregunta diferente que proporcionó, su respuesta está incompleta. no es suficiente para m < 0 dar Exp ⁡ ( − m / k T ) ≫ 1 , también requerimos | m | >> k T para obtener el comportamiento deseado. Nuevamente: está en el enlace, pero tal vez si fuera tan amable de agregar esta oración a su respuesta para futuros lectores, les facilitaría las cosas. ¡Muchas gracias por la respuesta!
@Lachy Por eso dije " m < 0 y Exp ⁡ ( − m / k T ) ≫ 1 .
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