Problemas para conceptualizar la "temperatura" de una baraja de cartas

La analogía no está bien justificada. En los sistemas químicos, la temperatura se puede introducir como

$$T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N}.$$ Los especificadores constantes son importantes. No puede introducir restricciones adicionales como$U = \text{const}\cdot N$. Y si la energía fuera constantemente proporcional a$N$, independiente (explícitamente) de$S$y$V$, la fórmula anterior daría cero.

Una situación análoga a la tuya en física sería un conjunto de partículas ordenadas, cada una de las cuales solo puede estar en un solo nivel de energía.$\epsilon$. La única fuente de entropía es la combinatoria del orden. La única forma en que el sistema puede ganar energía es adquiriendo nuevas partículas. Si está cerrado, no tiene forma de intercambiar calor con su entorno, de ninguna manera. No hay noción de temperatura en tales sistemas. Son, por definición, ni más calientes ni más fríos que cualquier cosa a su alrededor.

ACTUALIZACIÓN basada en comentarios.

Bien, hagamos abstracción del "número de cartas = número de partículas" que asumí implícitamente y consideremos algún sistema imaginario que pueda absorber energía en múltiplos de algún cuanto$ε$y tiene$(U/ε)!$microestados que representan un macroestado de energía$U$.

Esto parece bastante simple de analizar, así que para ver cómo se comporta en contacto térmico con otro cuerpo, hagamos un cálculo explícito.

Considere un oscilador armónico de mecánica cuántica alineado de tal manera que$ħω = ε$, desprecia la energía de estado cero. Supongamos que el sistema compuesto tiene, digamos, un presupuesto de energía total de 5 cuantos. En una situación microcanónica, los siguientes estados tienen la misma probabilidad:

1. oscilador en$5ħω$, baraja de cartas vacía,
2. oscilador en$4ħω$, la baraja de cartas tiene una carta,
3. oscilador en$3ħω$, la baraja de cartas tiene dos, ordenados AB o BA (2 estados distintos),
4. oscilador en$2ħω$, la baraja de cartas tiene tres: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (6 estados distintos),
5. oscilador en$1ħω$, la baraja de cartas tiene 24 estados distintos,
6. oscilador en$0ħω$, la baraja de cartas tiene 120 estados distintos.

Esto es un total de 154 microestados de igual energía entre los que, por supuesto, el sistema puede transitar libremente. Estadísticamente, todos tienen las mismas probabilidades en el límite a largo plazo. Claramente, en la mayoría de los casos el oscilador está en cero, y las energías distintas de cero tienen probabilidades decrecientes. Tomando los totales parciales:

$$p_0 = 78\%,\ p_1 = 16\%,\ p_2 = 4\%,\ p_3 = 1\%, p_4 = p_5 < 1\%.$$

Desde la perspectiva del oscilador, esto parece una distribución térmica a cierta temperatura. (Funcionaría mejor si tuviera muchos de ellos, pero para esta pequeña demostración esto será suficiente). Veamos qué sucede si vertemos un poco más de energía en el sistema. generalizando a$N$excitaciones totales:

Probabilidad de$n$excitaciones en el ho,$N-n$cartas en la baraja,$p_n = (N-n)! / \sum_{k=0}^{k=N} k!$

Para$N\gg1$, el factorial más grande domina con mucho a todos los demás términos en la suma combinada, así que simplifiquemos a$p_n \approx (N-n)! / N!$. Además, usando la fórmula de Stirling:

$$p_n \approx (N-n)! / N! \approx \left(\frac{N-n}{e}\right)^{N-n} \left(\frac{e}{N}\right)^N = \left(1 - \frac{n}{N}\right)^N \left(\frac{e}{N-n}\right)^n$$

En el primer término localizamos una aproximante de la exponencial ($n \ll N$):

$$p_n \approx e^{-n} \left(\frac{e}{N-n}\right)^n = \frac1{(N-n)^n} \stackrel{n \ll N}{\approx} \frac1{N^n}$$

Recuerde que la distribución de Maxwell-Boltzmann del oscilador armónico solo a temperatura$T$da

$$p_n = (1 - e^{-ε/(kT)}) e^{-nε/(kT)}$$

y para$kT \ll ε$,

$$p_n \approx e^{-nε/(kT)} = (e^{-ε/(kT)})^n = \frac1{(e^{ε/(kT)})^n}.$$

Comparando los dos, vemos que para grandes$N$, el oscilador armónico se termaliza a temperatura$T$para cual$e^{ε/(kT)} = N$, cual es

$$T = \frac{ε}{k \ln N}.$$

De hecho, esto confirmaría que en nuestro sistema modelo la temperatura es una función decreciente de la energía total$U = Nε$, o la energía total es una función decreciente de la temperatura, al contrario de lo habitual. Si añadimos algunos cuantos de energía al sistema, preferirían encontrar su camino hacia la plataforma que hacia el oscilador, e incluso extraer algo más de energía de este último , enfriándolo.

Como se trata de un equilibrio, se le asignaría la misma temperatura a la baraja de cartas. Por supuesto, el$N$las partículas se dividen entre los dos. Pero a todos los efectos prácticos,$n \approx 0$y$N-n \approx N$, por lo que en realidad podemos usar esta fórmula sin cambios.

La explicación de este extraño resultado es la explosión superexponencial del número de microestados del mazo de cartas con energía. Es normal que esto (y su logaritmo, la entropía) sea una función creciente (en sistemas que permiten la saturación, la entropía puede comenzar a disminuir en algún punto; estos luego permiten temperaturas negativas), pero en todas las situaciones comunes la entropía permanece cóncava. Lo inusual de nuestro sistema de "mazo de cartas" es que es una función convexa en energía. Esto también significa capacidad calorífica negativa , lo que trae más paradojas.

Entonces, para responder a sus preguntas, no hay falla en su lógica; es solo un modelo bastante inusual con propiedades muy sorprendentes. Puede haber algo que impida que sea físico, no he tratado de responder eso.

A pesar de que la pregunta ya tiene una respuesta aceptada, creo que se me ocurrió una forma alternativa de asociar una "temperatura" con una baraja de cartas. Suponga que, en lugar de los palos y las etiquetas habituales, las cartas solo están numeradas.$1$a través de$n$. A cada microestado del mazo (es decir, su orden), podemos asignar la energía como el número de inversiones en este microestado (es decir, el número de pares$i$,$j$,$i<j$tal que la etiqueta en el$i$'th tarjeta es mayor que la etiqueta en el$j$'ésima tarjeta). Una baraja perfectamente ordenada$(1, 2, ..., n)$entonces tiene cero energía, y una baraja en orden inverso$(n, … , 1)$tiene energía$n (n-1)/2$. Luego llenamos los estados de acuerdo con la distribución de Gibbs y procedemos como de costumbre para un sistema discreto. En esta configuración,$T = 0$corresponde a una baraja completamente ordenada, y$T = \infty$corresponde a una baraja completamente mixta (todos los ordenamientos son igualmente probables). Esencialmente, dicho sistema es solo un sistema discreto con extrañas degeneraciones de los niveles de energía, por lo que debe estar bien definido.

Aún no pude determinar las propiedades de la entropía con respecto a la cantidad de cartas.$n$.