¿Cuál es la derivación de la relación de energía exponencial y dónde se aplica?

Muy a menudo, cuando las personas establecen un tiempo de relajación τ pariente , τ podredumbre ,, etc. piensan en un contexto donde la relajación energética va como ∝ mi − t / τ . Relacionado es un enfoque para calcularlo a través de

τ = mi ( 0 ) / ( d mi d t ) mi = 0 .

Ambos se justifican al considerar dinámicas para las cuales

d mi d t = − 1 τ ( mi − mi ( 0 ) ) .

Mi pregunta es: ¿Qué lleva fundamentalmente a esta relación?

Supongo que se relaciona con una ecuación maestra, que refleja la forma " X ˙ = A X + b ". Pero no estoy seguro de cómo los grados de libertad en la ecuación maestra se traducen en la dependencia del tiempo del valor de la energía macroscópica. También habrá una derivación de la ecuación de Boltzmann de alguna manera, para algunas condiciones, pero ¿cuál es el argumento general? y donde funciona?

Re Ecuación de Boltzmann: la aproximación del tiempo de relajación al término de colisión de Boltzmann se denomina aproximación BGK y tiene un uso amplio. Pero no estoy seguro de cuáles son exactamente sus condiciones de validez. A partir de la ecuación de BGK, es muy sencillo obtener la ecuación de energía con la suposición de que las fuerzas externas desaparecen (de lo contrario, hay un término de entrada de energía en la derecha).

Respuestas (2)

Este tipo de decaimiento exponencial hacia el "equilibrio" se puede derivar cuando uno observa un proceso de Markov. En este caso, si llamamos S t el estado del sistema en el momento t y S t + 1 el estado en el tiempo t + 1 , se tiene para la evolución:

S t + 1 = T S t

dónde T se llama matriz de transición. Esto implica que S t = T t S 0 . La idea es entonces introducir el conjunto de autoestados mi i tal que T mi i = λ i mi i . El conjunto de { mi i } i = 1... es un conjunto matemático de vectores y no siempre corresponde necesariamente a un estado de probabilidad. De hecho, dado que la solución es única para cualquier S 0 implica que solo puede haber un estado de probabilidad tal que T mi pag = mi pag es decir tal que λ pag = 1 . Ahora, a partir de cualquier estado S 0 = ∑ i S i 0 mi i , uno tiene entonces S t = ∑ i S i 0 λ i t mi i = S mi q + ∑ i ≠ pag S i 0 λ i t mi i . T es una matriz definida positiva y en teoría espectral, se puede demostrar que λ pag = 1 es el valor propio más alto, por lo tanto, significa que todos los demás valores propios son más pequeños que 1 . llamemos λ 2 el segundo valor propio más alto de T , entonces tenemos:

S t − S mi q ≈ S 2 0 λ 2 t ≈ S 2 0 mi t en ⁡ λ 2 ∼ mi − t / τ 2

dónde τ 2 = − 1 / en ⁡ λ 2 .

Al fin y al cabo la idea es que el estado inicial se pueda proyectar sobre autoestados entre los cuales solo uno es físico y pasa a tener el autovalor más alto de valor 1, este corresponde al estado de equilibrio.

La principal suposición aquí es que la dinámica es markoviana.

Me gusta tu derivación. Aún así, ¿dónde está la justificación para S t + 1 = T S para nuestro sistema físico? S ′ ∝ S por supuesto se cuela en el comportamiento exponencial.
Modelar la dinámica del sistema mediante una cadena de Markov es, en la mayoría de los casos, una suposición para variables colectivas. Sin embargo, la mayoría de las veces también puede encontrar microvariables que obedezcan una dinámica markoviana. El teorema de Liouville corresponde a una dinámica markoviana. Cuando observa variables colectivas más lentas, esta dinámica markoviana microscópica genera un núcleo de memoria para la variable lenta que, durante un tiempo suficientemente largo, devuelve un comportamiento markoviano si hay una separación adiabática de las escalas de tiempo.
¿Qué es un kernel de memoria? ¿Es una función generadora de dinámica que, comparada con la evolución de las variables markovianas, no es simplemente constante?
Una definición general en tiempo discreto de lo que significa el kernel de memoria es que S t = F ( S t − 1 , S t − 2 , . . , S t − metro ) dónde metro es el tamaño de la memoria.

esta forma de d mi / d τ es válido solo cuando el sistema no está demasiado lejos del equilibrio y la suposición de respuesta lineal es válida. El hecho de que d mi / d τ depende de la diferencia mi − mi ( 0 ) solo es una consecuencia de asumir una respuesta lineal.

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