Gran función de partición canónica de partículas hipotéticas

Tengo que calcular la gran función de partición canónica de un sistema de partículas hipotéticas, en el que cada estado cuántico de una sola partícula puede estar ocupado por hasta 3 partículas.

Obviamente, esto es una especie de broma, refiriéndose a fermiones (con un máximo de 2 partículas por estado) y bosones (partículas ilimitadas por estado). Se supone que estas partículas hipotéticas no interactúan entre sí.

Así que intenté ver cada estado cuántico de una sola partícula como un gran conjunto canónico separado, siguiendo el enfoque de https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Dirac_statistics

En el potencial químico$\mu$y temperatura$T$, donde la energía del estado es$\epsilon$, Yo obtengo:

$$\begin{equation} \mathcal{Z} = \sum_{n=0}^{3}{\exp{\left(\frac{n(\mu-\epsilon)}{k_B T}\right)} = \frac{1-\exp{\left(4\frac{\mu-\epsilon}{k_B T}\right)}}{1-\exp{\left(\frac{\mu-\epsilon}{k_B T}\right)}}} \end{equation}$$ donde usé la progresión geométrica finita.

Ahora también tengo que determinar el número de ocupación promedio$\langle n_i \rangle$por un estado con energía$\epsilon_i$a temperatura$T=0$.

En general, tenemos

$$\begin{equation} \langle n_i \rangle = k_B T \frac{\partial \ln{\mathcal{Z}}}{\partial \mu} \end{equation}$$

que me rinde$\langle n_i \rangle =2-\frac{1}{1+\exp(x)}+\tanh(x)$donde definí$x=\frac{\mu-\epsilon_i}{k_B T}$. (Utilicé Wolfram Mathematica para simplificar el álgebra).

claramente en$T=0$esta expresión está mal definida, pero tomando el límite$T\rightarrow 0$vemos eso$\langle n_i\rangle=0$si$\epsilon_i>\mu$,$\langle n_i\rangle=3/2$si$\epsilon_i=\mu$y$\langle n_i\rangle=3$si$\epsilon_i<\mu$, ¿correcto?