¿Cómo puedo explicar la dependencia energética de la distribución de Maxwell-Boltzmann?

Hay que tener en cuenta los diferenciales. La ecuación real es

$$f_\text{MB}(\mathbf{v})\,\text{d}v_x\text{d}v_y\text{d}v_z = n\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}e^{-mv^2/2k_BT}\,\text{d}v_x\text{d}v_y\text{d}v_z.$$ Cambiando a coordenadas esféricas, obtenemos $$\text{d}v_x\text{d}v_y\text{d}v_z = v^2\sin\theta\,\text{d}\theta\,\text{d}\varphi\,\text{d}v.$$ integrando $\theta$y $\varphi$, esto se convierte $$v^2\,\text{d}v\int_0^{2\pi}\text{d}\varphi\int_0^\pi\sin\theta\,\text{d}\theta = 4\pi v^2\,\text{d}v,$$ entonces tenemos $$f_\text{MB}(v)\,\text{d}v = 4\pi n\left(\frac{m}{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/2k_BT}\,\text{d}v.$$ Ahora puedes cambiar $v$a $E$. Usando $$\text{d}E = mv\,\text{d}v = \sqrt{2mE}\,\text{d}v,$$ eventualmente obtienes $$f_\text{MB}(E)\,\text{d}E = 2n\left(\frac{1}{k_BT}\right)^{3/2}\sqrt{\frac{E}{\pi}}e^{-E/k_BT}\,\text{d}E.$$

La función de distribución permite encontrar algún tipo de probabilidad sumando$f_vdv$si es la distribución sobre velocidades o$f_EdE$si se trata de energías. Uno puede transformarse en otro como:

$$f_v(v) dv=f_v(E) v dE,$$

desde$dv=vdE$si$E$es una función de$v$

Teniendo en cuenta$E=\frac{mv^2}{2}$, se obtiene:

$$f_v(v)dv=f_v(E) \sqrt{\frac{2E}{m}} dE \Rightarrow f_E (E)=f_v(E) \sqrt{\frac{2E}{m}},$$