Tratando de comprender intuitivamente cómo se relaciona la temperatura con la entropía

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Tratando de comprender intuitivamente cómo se relaciona la temperatura con la entropía

mihirb

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Estaba investigando la definición de temperatura y cómo se relaciona con la entropía y la energía interna y encontré esta respuesta en StackExchange.

Según la respuesta:

[La temperatura es] la relación diferencial entre la energía interna y la entropía:
$\begin{aligned} d tu & = T d S + \dots \\ \frac{\partial S}{\partial tu} & = \frac{1}{T} \end{aligned}$ $\begin{align} dU &= T\,dS + \cdots \\ \frac{\partial S}{\partial U} &= \frac 1T \end{align}$ A medida que se agrega energía a un sistema, su entropía interna cambia.

Esto significa que una temperatura baja significa que un cambio dado en la energía interna $U$ conduce a un gran cambio en la entropía $S$ de un sistema y que una temperatura alta significa que un cambio dado en la energía interna conduce a un pequeño cambio en la entropía de un sistema.

Ahora, la entropía es esencialmente una medida del número de estados de un sistema (que, por ejemplo, una caja de moléculas de gas sería del tamaño del conjunto de posiciones y velocidades posibles para todas las moléculas de gas). Para un gas con temperatura baja, la distribución de Maxwell-Boltzmann para la velocidad está menos dispersa que la distribución para el mismo gas con temperatura alta, como se muestra en esta imagen:

Dado que la entropía de una distribución de probabilidad mide cuántos estados hay, asumo que una distribución más dispersa tendría una entropía más alta ya que hay más estados porque la distribución se extiende a través de un mayor número de ellos.

Ahora, según la definición de temperatura de la respuesta, esto significa que un cambio dado en la energía interna de la caja de gas a baja temperatura conduciría a un cambio mayor en la dispersión de la distribución de velocidad (entropía) que el mismo cambio en la energía interna. la energía dependería de la dispersión (entropía) de la distribución de velocidades de la caja de gas de alta temperatura.

La pregunta

¿Estoy interpretando correctamente lo que es un grande frente a un pequeño $\partial S / \partial U$ (pequeño versus grande $T$ ) representa en términos de distribuciones estadísticas (en particular, ¿es correcta mi interpretación de la entropía)? Si no, ¿cómo puedo pensar en la entropía de la distribución de Maxwell-Boltzmann en términos de la gráfica de la distribución?

Ya sea que esté en lo cierto o no, ¿hay alguna intuición detrás de por qué la dispersión (entropía) de una distribución de baja temperatura se vería más afectada por un cambio en la energía interna que la dispersión (entropía) de una distribución de alta temperatura?

Para resumir estoy preguntando:

¿Por qué tiene sentido que las bajas temperaturas correspondan a una alta $\partial S / \partial U$ y las altas temperaturas corresponden a una baja $\partial S / \partial U$ y ¿hay alguna manera de pensar en esto observando la forma de la distribución de Maxwell-Boltzmann en el caso de una caja de gas?

Respuestas (2)

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xzkxyz · Answer 1

La entropía no es en realidad la medida del número de estados. Imagina un dado que solo arroja números $1$ y $2$ . Tiene $6$ caras, claro, pero el otro $4$ son imposibles ¿En qué se diferencia este dado de una moneda? ¿Qué pasa si la probabilidad del otro $4$ las caras son distintas de cero, pero son muy pequeñas (digamos, $0.00001$ %), ¿la entropía no seguiría siendo muy similar a la de una moneda?

Para relacionarse con su pregunta, a bajo $T$ , tiene la misma cantidad de estados, pero solo unos pocos son accesibles. La entropía de un sistema con muy pocos estados posibles , digamos una moneda, es pequeña. Ahora tomemos una temperatura muy muy alta. Para modelar esto, diremos que las partículas se distribuyen en un amplio rango de velocidades, y la distribución es bastante plana (uniforme), podemos pensar en ella como una distribución uniforme con muchos estados posibles. Una distribución más dispersa es de hecho una entropía más alta. Pasar a una temperatura aún más alta hace que se extienda solo un poco más, mientras que pasar de casi $0$ a una temperatura un poco más alta hace que se extienda mucho.

Para ver esto, puedes mirar la definición de entropía, $𝑆=−\sum p\ln p$ . Para distribuciones uniformes, todos $p$ son idénticos e iguales a $1/N$ . De este modo, $S = -\ln(1/𝑁)= \ln(N)$ , por lo que la derivada con respecto al tamaño es algo así como $1/N$ . Cuando tiene muy pocos estados "accesibles", la derivada es grande, y cuando tiene muchos, la derivada es pequeña. El número de estados accesibles $N$ es proporcional a la energía, por lo que esta derivada es como la pendiente, que corresponde a la inversa de la temperatura $1/T$ .

¿Puede explicar más acerca de por qué cuando la temperatura ya es alta, pasar a una temperatura aún más alta solo extiende un poco la distribución mientras que a una temperatura baja la extiende mucho?
Puedes mirar la definición de entropía, $S = -\Sigma p\ln p$ . Para distribuciones uniformes, todos $p$ son idénticos e iguales a 1/N. De este modo, $S = -ln(1/N) = ln(N)$ , por lo que la derivada con respecto al tamaño es algo así como $1/N$ . Cuando tiene muy pocos estados "accesibles", la derivada es grande, y cuando tiene muchos, la derivada es pequeña. El número de estados accesibles $N$ es proporcional a la energía, por lo que esta derivada es como la pendiente, que corresponde a la inversa de la temperatura.
Veo. Entonces, a baja energía / temperatura interna, hay menos estados accesibles, lo que significa $N$ es baja, esto significa que la derivada de $S$ que es igual a $1/N$ es largo. Esta derivada es básicamente la temperatura inversa $1/T$ lo que significa que una derivada más grande corresponde a una temperatura más baja. En resumen: baja energía interna <==> menos estados accesibles <==> baja temperatura. ¿Es esta una interpretación correcta?

Vercassivelaunos · Answer 2

Tenga en cuenta que la entropía es el logaritmo del número de estados. Pasar de un estado posible a diez da como resultado el mismo aumento de entropía que pasar de diez a cien. Supongamos, de forma totalmente incorrecta, pero solo para ilustrar el punto, que aumentar la energía en una cantidad fija da como resultado que se agregue una cantidad fija de estados posibles. Entonces la entropía solo aumentaría con el logaritmo de la energía, por lo que $\partial S/\partial U\sim 1/U$ , y por lo tanto la temperatura sería proporcional a $U$ .

En general, alta energía significa alta temperatura si el número de estados posibles (o la extensión de la distribución, si lo desea) crece más lentamente que exponencialmente con la energía.

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mihirb

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