Potencial químico para gas fermi ideal con energías de partículas individuales ϵ±k=±ℏc|k|ϵk±=±ℏc|k|\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|

Question

Potencial químico para gas fermi ideal con energías de partículas individuales ϵ±k=±ℏc|k|ϵk±=±ℏc|k|\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|

Física
fermiones
gas ideal
potencial químico
mecánica estadística

Sahand Tabatabaei

Encontré la siguiente pregunta en algunos problemas de ejemplo para mi examen final del curso de mecánica estadística para graduados:

Considere un gas ideal de fermiones de densidad $n$ en tres dimensiones con las energías de estado propio de una sola partícula dadas por $\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|$ . Suponga el potencial químico $\mu = 0$ en $T=0$ . Demuestre que si la densidad del fermión es constante, $\mu(T)=0$ para todos $T$ .

Mi primer enfoque fue usar la distribución de Fermi-Dirac (usando unidades de energía para la temperatura):

norte = \sum_{k} ⟨ {norte}_{k} ⟩ = \sum_{k} \frac{1}{{mi}^{\frac{ϵ_{k} - m}{T}} + 1} = \sum_{k} \frac{1}{{mi}^{\frac{ℏ C | k | - m}{T}} + 1}

$N=\sum_k\langle n_k\rangle = \sum_k \frac{1}{e^{\frac {\epsilon_k-\mu}T}+1}=\sum_k \frac{1}{e^{\frac {\hbar c |\mathbf k|-\mu}T}+1}$ Convirtiendo esto en una integral en el espacio de cantidad de movimiento:

norte = V \int_{R^{3}} \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{1}{{mi}^{\frac{ℏ C | k | - m}{T}} + 1} = \frac{V}{2 π^{2}} \int_{0}^{\infty} d k \frac{k^{2}}{z^{- 1} {mi}^{\frac{ℏ C k}{T}} + 1}

$N=V\int_{\Bbb R^3}\frac {d^3k}{(2 \pi)^3}\frac{1}{e^{\frac {\hbar c |\mathbf k|-\mu}T}+1}=\frac {V}{2 \pi^2}\int_0^\infty dk \ \frac{k^2}{z^{-1}e^{\frac {\hbar c k}T}+1}$ Dónde

z = e^{\frac{μ}{T}}

$z=e^{\frac {\mu}{T}}$ es la fugacidad. Usando el cambio de variables, obtenemos:

norte = \frac{V}{2 π^{2}} {(\frac{T}{ℏ C})}^{3} \int_{0}^{\infty} d X \frac{X^{2}}{z^{- 1} {mi}^{X} + 1}

$N=\frac {V}{2 \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3\int_0^\infty dx \ \frac{x^2}{z^{-1}e^{x}+1}$ Que en términos de las funciones de Fermi-Dirac, es:

norte = \frac{1}{π^{2}} {(\frac{T}{ℏ C})}^{3} F_{3} (z)

$n=\frac {1}{ \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3f_3(z)$ Dónde

n

$n$ es la densidad. A bajas temperaturas, usando la expansión de Sommerfeld

f_{3} (e^{\frac{μ}{T}}) ≃ \frac{1}{6} {(\frac{μ}{T})}^{3} (1 + π^{2} {(\frac{T}{μ})}^{2})

$f_3\left(e^{\frac{\mu}{T}}\right) \simeq \frac 16\left(\frac {\mu}{T}\right)^3\left(1+\pi^2 \left(\frac T{\mu}\right)^2\right)$ , obtenemos:

norte ≃ \frac{1}{π^{2}} {(\frac{T}{ℏ C})}^{3} \frac{1}{6} {(\frac{m}{T})}^{3} (1 + π^{2} {(\frac{T}{m})}^{2}) ≃ \frac{V}{6 π^{2}} {(\frac{m}{ℏ C})}^{3} T \to 0^{+}

$n\simeq\frac {1}{ \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3\frac 16\left(\frac {\mu}{T}\right)^3\left(1+\pi^2 \left(\frac T{\mu}\right)^2\right)\simeq \frac {V}{ 6\pi^2} \left(\frac{\mu}{\hbar c}\right)^3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T\rightarrow0^+$ Lo que da :

m ≃ ℏ C {(6 π^{2} norte)}^{\frac{1}{3}} T \to 0^{+}

$\mu \simeq \hbar c\left(6 \pi^2 n\right)^{\frac{1}{3}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T\rightarrow0^+$ No veo cómo podemos suponer que el potencial químico es cero a temperatura cero. Claramente, la solución anterior muestra que eso es imposible. ¿Cómo podría el gas tener cero energía fermi? Obtengo el mismo resultado cuando calculo la gran función de partición canónica desde cero y uso el gran potencial. Un potencial químico cero tampoco tiene sentido intuitivo, porque implica que agregar o quitar partículas del gas no tendría costo energético alguno; lo cual no puede ser cierto, porque cuando agregamos un fermión, no puede compartir un nivel de energía con otra partícula (principio de Pauli) y, por lo tanto, tiene que ir a un nivel de energía más alto, lo que significa que hay un costo de energía distinto de cero.

Otro problema es que no puedo entender lo que significa la pregunta por el

\pm

$\pm$ en el

ϵ_{k}^{\pm} = \pm ℏ c | k |

$\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|$ relación. ¿Significa que cada estado propio de cantidad de movimiento corresponde a dos estados propios de energía, uno negativo y otro positivo? Por ejemplo, considere el caso -

ϵ_{k} = - ℏ c | k |

$\epsilon_k=- \hbar c |\mathbf k|$ . El mismo razonamiento que el anterior da:

norte = \frac{1}{2 π^{2}} {(\frac{T}{ℏ C})}^{3} \int_{0}^{\infty} d X \frac{X^{2}}{z^{- 1} {mi}^{- X} + 1} \to + \infty

$n=\frac {1}{2 \pi^2} \left(\frac{T}{\hbar c}\right)^3\int_0^\infty dx \ \frac{x^2}{z^{-1}e^{-x}+1} \ \rightarrow +\infty$ Y esta integral claramente diverge para todos los valores de

z

$z$ .

Siento que estoy malinterpretando la pregunta. Cualquier ayuda sería apreciada.

lenol

Estoy en la misma clase. Agradecería una actualización si la recibes.

Sahand Tabatabaei

Seguro. Voy a publicar cualquier cosa relevante que pueda encontrar.

lenol

encontré

μ (T) = μ (0) + c T^{2}

$\mu(T)=\mu(0)+cT^2$ , y eso

μ

$\mu$ apenas se desvía de

μ (0)

$\mu(0)$ . No estoy seguro de si esto es lo que espera.

Sahand Tabatabaei

no se tal vez? Pero eso es solo para bajas temperaturas. el dice probar

μ = 0

$\mu=0$ por todo T. No tengo ni idea la verdad.

Respuestas (2)

Potencial químico para gas fermi ideal con energías de partículas individuales ϵ±k=±ℏc|k|ϵk±=±ℏc|k|\epsilon_k^{\pm}=\pm \hbar c |\mathbf k|

Estoy en la misma clase. Agradecería una actualización si la recibes.
Seguro. Voy a publicar cualquier cosa relevante que pueda encontrar.
encontré $\mu(T)=\mu(0)+cT^2$ , y eso $\mu$ apenas se desvía de $\mu(0)$ . No estoy seguro de si esto es lo que espera.
no se tal vez? Pero eso es solo para bajas temperaturas. el dice probar $\mu=0$ por todo T. No tengo ni idea la verdad.

eranreches · Answer 1

Antes de adentrarnos en las matemáticas, tratemos de obtener algo de intuición sobre la función de energía con la que estás tratando. te dan

ϵ_{k}^{\pm} = \pm ℏ C | k |

$\epsilon_{\boldsymbol{k}}^{\pm}=\pm\hbar c\left|\boldsymbol{k}\right|$

ϵ_{F} = m (T = 0) = 0

$\epsilon_{\rm F}=\mu\left(T=0\right)=0$

Esto significa que en $T=0$ todos los estados de energía negativa están ocupados y todos los estados de energía positiva están vacíos. Esto es típico de los sistemas en la física del estado sólido. Básicamente tienes aquí una Estructura de Bandas : las energías negativas forman lo que se conoce como Banda de Valencia , y las energías positivas de lo que se conoce como Banda de Conducción . La banda de valencia está completamente ocupada con electrones, lo que dificulta su manejo. Por lo tanto, los físicos crean el concepto de Agujeros , o falta de electrones. Mientras que la banda de valencia está llena de electrones, es equivalente a decir que está vacía de agujeros, fácil de tratar. En resumen, los huecos viven en la banda de valencia y los electrones viven en la banda de conducción.

Ahora viene la parte clave. Cuando excitas un electrón de la banda de valencia a la banda de conducción, esencialmente estás creando un par de huecos de electrones: aparece un hueco (electrón vacante) en la banda de valencia y aparece un electrón en la banda de conducción. Es muy importante notar ahora que debido a esta simetría, el número de electrones es igual al número de huecos. Esto es cierto solo porque el nivel de Fermi está ubicado exactamente en el medio entre las dos bandas.

Ahora entendemos la intuición detrás de este problema. El siguiente paso es calcular el número de electrones y el número de huecos, exigir que los dos sean iguales y obtener $\mu=\mu\left(T\right)$ . Como dijiste, la probabilidad de ocupación de electrones en una energía $\epsilon$ viene dada por la función de distribución de Fermi-Dirac

F_{mi} (ϵ) = \frac{1}{{mi}^{β (ϵ - m)} + 1}

$f_{\rm e}\left(\epsilon\right)=\frac{1}{e^{\beta\left(\epsilon-\mu\right)}+1}$

con $\beta\equiv \frac{1}{K_{\rm B}T}$ . Por otro lado, la probabilidad de ocupación del hueco en la banda de valencia es igual a la probabilidad de falta de electrón

F_{h} (ϵ) = 1 - F_{mi} (ϵ) = 1 - \frac{1}{{mi}^{β (ϵ - m)} + 1} = \frac{1}{{mi}^{- β (ϵ - m)} + 1}

$f_{\rm h}\left(\epsilon\right)=1-f_{\rm e}\left(\epsilon\right)=1-\frac{1}{e^{\beta\left(\epsilon-\mu\right)}+1}=\frac{1}{e^{-\beta\left(\epsilon-\mu\right)}+1}$

Así, el número de electrones y huecos respectivamente está dado por

{norte}_{mi} (T) = \int_{0}^{\infty} d ϵ D (ϵ) F_{mi} (ϵ)

$n_{\rm e}\left(T\right)=\int_{0}^{\infty}{\rm d}\epsilon D\left(\epsilon\right)f_{\rm e}\left(\epsilon\right)$

{norte}_{h} (T) = \int_{- \infty}^{0} d ϵ D (ϵ) F_{h} (ϵ) = \int_{0}^{\infty} d ϵ D (- ϵ) F_{h} (- ϵ)

$n_{\rm h}\left(T\right)=\int_{-\infty}^{0}{\rm d}\epsilon D\left(\epsilon\right)f_{\rm h}\left(\epsilon\right)=\int_{0}^{\infty}{\rm d}\epsilon D\left(-\epsilon\right)f_{\rm h}\left(-\epsilon\right)$

a todas las temperaturas. Aquí $D\left(\epsilon\right)$ es la densidad de estados, y se puede argumentar que a partir de la simetría $D\left(\epsilon\right)=D\left(-\epsilon\right)$ . Conectando las distribuciones, obtenemos

{norte}_{mi} (T) = \int_{0}^{\infty} d ϵ D (ϵ) \frac{1}{{mi}^{β (ϵ - m)} + 1}

$n_{\rm e}\left(T\right)=\int_{0}^{\infty}{\rm d}\epsilon D\left(\epsilon\right)\frac{1}{e^{\beta\left(\epsilon-\mu\right)}+1}$

{norte}_{h} (T) = \int_{0}^{\infty} d ϵ D (ϵ) \frac{1}{{mi}^{β (ϵ + m)} + 1}

$n_{\rm h}\left(T\right)=\int_{0}^{\infty}{\rm d}\epsilon D\left(\epsilon\right)\frac{1}{e^{\beta\left(\epsilon+\mu\right)}+1}$

Ahora puede ver inmediatamente que si $n_{\rm e}\left(T\right)=n_{\rm h}\left(T\right)$ es cierto para todas las temperaturas, entonces debe tener

m (T) = 0

$\mu\left(T\right)=0$

para todas las temperaturas, según se desee.

Muchas gracias por tu respuesta. No veo donde la relación de dispersión específica $\epsilon_k^{\pm} =\pm \hbar c \mathbf k$ entra en su derivación, aparte de la simetría utilizada en sus funciones de densidad de estados. ¿Es esto cierto para cualquier forma de energías de partículas individuales (simétricas) para los fermiones?
@SahandTabatabaei La relación de dispersión simplemente te da la densidad de estados y nada más. Esto es cierto cada vez que calcula promedios en mecánica estadística. En este caso, la propiedad importante de la densidad de estado es la uniformidad, es decir $D(\epsilon)=D(-\epsilon)$ , que es la consecuencia de tener una estructura de niveles de energía simétrica alrededor $\epsilon=0$ . Así que si tienes una relación de dispersión que es simétrica alrededor $\epsilon=0$ obtendrás el mismo resultado que $\mu(T)=0$ para todos $T$ 's. Esto no debería ser una sorpresa para ti. Hay una nota especial sobre este caso específico.
@SahandTabatabaei Además, si conoce la relación de dispersión, incluso puede calcularla explícitamente, bajo varias aproximaciones, tanto $n_{\rm e}(T)$ y $n_{\rm h}(T)$ . Si hace esto, verá que a medida que aumenta la temperatura, se crean más pares de agujeros de electrones.
Eso tiene mucho sentido. Si lo entiendo correctamente, solo estamos calculando la cantidad de electrones por encima del nivel de Fermi y la cantidad de electrones ausentes debajo de él (cantidad de huecos), e igualándolos. Sin embargo, todavía tengo algunas preguntas. ¿Qué significa que los electrones tengan energía negativa (ilimitada)? Parece que hay infinitos electrones ocupando la banda de valencia. Siento que ignoro algunos supuestos muy simples de la física del estado sólido. Debería haber una energía de estado fundamental finita para todo el sistema, ¿verdad? ¿Qué me estoy perdiendo?
Además, ¿por qué suponemos que tenemos infinitos electrones para empezar?
@SahandTabatabaei Casi. Tiene razón, aparte de eso, no calculamos los números por encima y por debajo del nivel de Fermi. Calculamos el número de electrones en la banda superior ( $\epsilon>0$ ) y el número de agujeros en la banda inferior ( $\epsilon<0$ ). Es solo una coincidencia que el nivel de Fermi esté en el medio. En otros casos puede ser que el $\epsilon_{\rm F}>0$ por ejemplo, aunque los límites de las integrales seguirán siendo los mismos, estamos sumando sobre bandas.
@SahandTabatabaei En cuanto a los electrones infinitos, esto es solo una aproximación. La distribución de Fermi-Dirac cae exponencialmente como $f(\epsilon)\sim e^{-\beta\left(\epsilon-\mu\right)}$ así que realmente no importa lo que suceda en $\epsilon\rightarrow\pm\infty$ . es insignificante En casos reales, el número de electrones es, por supuesto, finito y, de hecho, las bandas en sí mismas son un grupo de estados de energía discretos muy separados y no un continuo.
Pero la distribución de Fermi-Dirac no tiende a 1 cuando $\epsilon \rightarrow -\infty$ ? El exponente en el denominador va a $- \infty$ , haciendo que el término exponencial sea 0 y el denominador 1. Esto tiene sentido en un sentido porque cuanto más profundo es el estado en el mar de Fermi, mayores son las posibilidades de que esté ocupado por un electrón. Sin embargo, esto todavía significa que el número de electrones y la energía del sistema son infinitos. Quiero saber el rango de validez de este modelo. ¿Para qué cantidades se puede utilizar este modelo en el cálculo? El número de electrones y la energía total no son uno de ellos.
@SahandTabatabaei Su observación sobre la distribución de Fermi-Dirac en $\epsilon\rightarrow-\infty$ es correcto. Pero esa es exactamente la razón por la que hablamos de agujeros en lugar de electrones en la banda de valencia. Puedes ver eso fácilmente $f_{\rm h}(\epsilon\rightarrow-\infty)\sim e^{\beta(\epsilon-\mu)}\ll 1$ . La clave aquí es que puedes calcular todas las cantidades que quieras, pero tienes que tratar el sistema como electrones en la banda de conducción y huecos en la banda de valencia. Al hacerlo, puede descartar la ocupación infinita de electrones en el límite. $\epsilon\rightarrow-\infty$ lo que causa problemas.
@SahandTabatabaei Toda la física ocurre entre la conducción y la banda de cenefa. Los niveles de energía que están muy por debajo (o muy por encima de la banda de conducción) no contribuyen a ningún efecto medible en temperaturas razonables.

Cometa.Y · Answer 2

La respuesta de @eranreches es completa y lo suficientemente buena. Solo quiero agregar algunos pequeños comentarios sobre la solución en su pregunta original:

En primer lugar, como ya notó, hay dos ramas, mientras que en su cálculo solo usó una de ellas: eso significa que está tratando de llenar los electrones en solo estados de energía positivos, luego cualquier número finito de relleno daría como resultado un potencial químico positivo. $\mu$ en $T=0$ , que es solo el nivel de energía más alto alcanzado después de llenar todos los electrones.

En segundo lugar, si también tiene en cuenta la energía negativa, pero aún intenta usar una integral estándar de Fermi-Dirac para el cálculo, notará que hay un número infinito de niveles de energía negativa que se pueden llenar, sin límite inferior para los niveles de energía. , lo que resulta en un desastre ya que ni siquiera sabes dónde comenzar a llenar los electrones. Y esa es parte de la razón por la que @eranreches usó la densidad de estados $D(\epsilon)$ en su cálculo, lo que podría evitar el problema en un cálculo explícito. Mientras que en el mundo real, por ejemplo, en sistemas de estado sólido, cualquier banda de energía, por supuesto, está restringida en una ventana de energía finita, y también el impulso $k$ tomaría un valor finito también; entonces, más específicamente, usted puede tener $D(|\epsilon| > \epsilon_0) = 0$ .

En tercer lugar, la dispersión lineal es bastante común en estado sólido, relacionada con muchos temas interesantes: por ejemplo, líquido de Luttinger, conos de Dirac... Por lo general, es una aproximación solo para un número finito de estados etiquetados por $k$ en la zona completa de Brilioun, y se ve principalmente para el caso de cruce (o contacto) de bandas: cuando dos bandas se cruzan, la región alrededor del punto de cruce tendría una dispersión lineal $\epsilon \sim |k|$ . Y el significado de $\mu(T=0)=0$ en este caso es solo que los electrones llenan todos los estados por debajo de este punto de cruce.

En general, habría otras dispersiones para tocar la banda, por ejemplo $\epsilon\sim k^2$ . (Puede encontrar algo relacionado aquí: arXiv 1603.03093.)

Si yo para calcular la energía interna del sistema, $U=\int_{-\infty}^{\infty}\epsilon f(\epsilon,\mu=0) D(\epsilon) d\epsilon$ , la integral sería divergente. ¿Cómo puedo darle sentido a esto?
@Lenol Simplemente no haces eso de esta manera. En cambio, arreglemos $U(T=0)=0$ . Podemos hacer esto porque la energía se define hasta una constante. Ahora imagina que excitas un electrón desde el nivel $-\epsilon$ en el nivel $\epsilon$ . Significa que creas un agujero en $-\epsilon$ con energia $-\left(-\epsilon\right)=\epsilon$ y un electrón en $\epsilon$ con energia $\epsilon$ . La energía total del sistema ha aumentado en $2\epsilon$ .
@Lenol Por el mismo razonamiento, puede construir una expresión general para la energía del sistema. $tu = \int_{- \infty}^{0} (- ϵ) F_{h} (ϵ) D (ϵ) d ϵ + \int_{0}^{\infty} ϵ F_{mi} (ϵ) D (ϵ) d ϵ$ $U=\int_{-\infty}^{0}(-\epsilon)f_{\rm h}(\epsilon)D(\epsilon){\rm d}\epsilon+\int_{0}^{\infty}\epsilon f_{\rm e}(\epsilon)D(\epsilon){\rm d}\epsilon$ Esta expresión converge porque $F_{h} (ϵ \to - \infty) \to 0$ $f_{\rm h}(\epsilon\rightarrow-\infty)\rightarrow 0$ y $F_{mi} (ϵ \to \infty) \to 0$ $f_{\rm e}(\epsilon\rightarrow\infty)\rightarrow 0$ exponencialmente rápido.
@Lenol Sí, eranreches ya respondió a tu pregunta. O, como mencioné anteriormente, si realmente solo quisiera mirar la pregunta en sí misma y considerarla completamente como un problema de "relleno del nivel de energía de un solo electrón" sin considerar los agujeros en los sólidos o el cambio constante de energía, entonces el problema, estrictamente hablando, no está perfectamente definido --- siempre debe haber un límite inferior de energía para cualquier sistema. Entonces, para resolverlo, primero debes explicarlo correctamente.

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