Condiciones de contorno del fermión a temperatura finita

Las funciones de partición se obtienen mediante integrales de trayectoria a lo largo de trayectorias cerradas. En el caso de los fermiones, las condiciones de contorno antiperiódicas dan la traza y las condiciones de contorno periódicas dan la supertraza:

$$\mathrm{Tr}e^{-T H} = \int_{\begin{Bmatrix}\psi(T) = -\psi(0) \\ \bar{\psi}(T) = -\bar{\psi}(0)\end{Bmatrix}} e^{\int_0^T \bar{\psi}\dot{\psi}+ H(\bar{\psi}, \psi)} \mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar{\psi}$$

$$\mathrm{Str}e^{-TH} = \int_{\begin{Bmatrix}\psi(T) = \psi(0) \\ \bar{\psi}(T) = \bar{\psi}(0)\end{Bmatrix}} e^{\int_0^T \bar{\psi}\dot{\psi}+ H(\bar{\psi}, \psi)} \mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar{\psi}$$

Explicación:

Las integrales de trayectoria fermiónica se basan en los símbolos de operadores de Grassmann:

$$A(\bar{\psi}_f, \psi_i) = \sum_{J,K=1}^N A_{JK} \bar{\psi}_f^J, \psi_i^K$$

Donde$J,K$son subconjuntos de$\{ 1, ....., N\}$describir múltiples índices, y$|J|, |K|$denota el número de elementos en el conjunto$J$.$\psi^{J}$es el producto antisimétrico de$|J|$Variables de Grassmann. Estos símbolos son equivalentes a$2^N \times 2^N$matrices y puede verse como un mapeo de un espacio de Hilbert inicial denotado por el subíndice$i$al espacio de Hilbert final denotado por el subíndice$j$. La traza y la supertraza de estos operadores están definidas por:

$$\mathrm{Tr} A = \sum_J A_{JJ}$$

$$\mathrm{Str} A = \sum_J (-1)^{|J|} A_{JJ}$$

Las trazas se pueden obtener a partir de la integración Gaussiana-Grassmann del símbolo del operador después de igualar las variables de Grassmann inicial y final:

$$\mathrm{Tr} A = \int A(\bar{\psi}_f = -\bar{\psi}_i, \psi_i) e^{-\bar{\psi}_i \psi_i} \Pi_{i=1}^N d\bar{\psi}_i d \psi_i$$

$$\mathrm{Str} A = \int A(\bar{\psi}_f = \bar{\psi}_i, \psi_i) e^{-\bar{\psi}_i \psi_i} \Pi_{i=1}^N d\bar{\psi}_i d \psi_i$$

El motivo es que, en el segundo caso, habrá un signo menos adicional siempre que el número de variables de Grassmann sea impar. Considere, por ejemplo, el operador bidimensional:

$A = A_{00} + A_{11}\bar{\psi}_f \psi_i$

Después:

$\int A(-\bar{\psi}, \psi) e^{-\bar{\psi} \psi}d\bar{\psi}d\psi = (A_{00} -A_{11}\bar{\psi} \psi) (1- \bar{\psi} \psi) d\bar{\psi}d\psi = - (A_{00} + A{11}) \int \bar{\psi} \psi d\bar{\psi}d\psi = A_{00} + A_{11}$

Donde el cambio de signo en el último paso se debe al cambio de orden entre$\psi$y$\bar{\psi}$, Similarmente

$\int A(\bar{\psi}, \psi) e^{-\bar{\psi} \psi}d\bar{\psi}d\psi = (A_{00} +A_{11}\bar{\psi} \psi) (1- \bar{\psi} \psi) d\bar{\psi}d\psi = - (A_{00} - A{11}) \int \bar{\psi} \psi d\bar{\psi}d\psi = A_{00} - A_{11}$

La pregunta ha sido respondida en el comentario de John Rennie al OP (yo también comentaría pero no tengo suficientes representantes para eso).

Solo me gustaría llamar la atención sobre el hecho de que está realizando la integral de trayectoria sobre los campos con periódicos (bosones) o antiperiódicos (fermiones) BC es una mera consecuencia del hecho de que está evaluando la traza (o planeando) para obtener la función de partición y, por lo tanto, esto es una imposición. Véase la ecuación. (2.17) de la teoría del campo de temperatura finita de Kapusta (edición de 1989) para una epifanía :)

He leído muchas atrocidades sobre esto cuando estaba estudiando el tema (cosas como "por simplicidad elegimos...")

Si desea una demostración alternativa a la del documento vinculado en el comentario de John Rennie, pruebe el Apéndice A de Dashen et al. PRD 12, 2443–2458 (1975) . Solo preste atención al hecho de que están haciendo todo en el espacio de Minkowski.

algún otro enfoque, tal vez explicación:

Recordar el promedio térmico$<\hat{A}>_\beta =\rm{Tr}~ e^{-\beta \hat{H}} \hat{A}$, (colocar$\rm{Tr}~ e^{-\beta \hat{H}}=1$).

Llevar

$$\hat{A}=T[\hat{\psi}(x,\tau_1)\hat{\psi}(y.\tau_2)]=\theta(\tau_1-\tau_2)\hat{\psi}(x,\tau_1)\hat{\psi}(y.\tau_2)- \theta(\tau_2-\tau_1)\hat{\psi}(y,\tau_2)\hat{\psi}(x.\tau_1)$$ poner $\hat{A}$de vuelta a la fórmula del promedio térmico con $\tau_2=0$y tendremos $$\rm{Tr} ~e^{-\beta \hat{H}} \hat{\psi}(x,\tau_1)\hat{\psi}(y.0) \\ = \rm{Tr} ~\hat{\psi}(y.0)e^{-\beta \hat{H}}\hat{\psi}(x,\tau_1) \\ = \rm{Tr} ~e^{-\beta \hat{H}}e^{\beta \hat{H}}\hat{\psi}(y.0)e^{-\beta \hat{H}} \hat{\psi}(x,\tau_1) \\ = \rm{Tr} ~e^{-\beta \hat{H}}\hat{\psi}(y.\beta) \hat{\psi}(x,\tau_1)$$

Escriba lo anterior en forma de integral de trayectoria y recuerde que las inserciones en la integral de trayectoria se ordenarán automáticamente.

$$\int [d\psi]e^{-S} \psi(x,\tau_1)\psi(y.0)=\int [d\psi]e^{-S} \psi(y.\beta) \psi(x,\tau_1)$$ Aunque no conocemos la condición de contorno de la integral de trayectoria, podemos concluir que $\psi(y,0)=-\psi(y,\beta)$.

Puedes pensar como$\beta$proporcional a un$2\pi$ángulo$\theta$. El vínculo entre los campos espinosos$\psi(0)$y$\psi(\beta)$, entonces, debe ser analizado como el vínculo entre$\psi(\theta=0)$y$\psi(\theta=2\pi)$. El ángulo$\theta$podría considerarse como una "rotación espacial" de ángulo$\theta$para el campo$\psi$. Ahora, sabemos que los espinores, después de una rotación de$2 \pi$, obtener un signo menos. Entonces, concluimos que la condición de contorno correcta es$\psi(\beta) = -\psi(0)$

Más rigurosamente, pero de manera equivalente, podemos pensar en una coordenada espacial compacta, donde$x=0$se identifica con$x =\beta$. Un camino cerrado desde$x=0$a$x=\beta$, es equivalente a un$2\pi$"rotación espacial".

Una explicación algebraica. La integral de trayectoria fermiónica se basa en una representación de los operadores$a$y$a^{\dagger}$en términos de una variable de Grassmann$\alpha$de acuerdo a$a\rightarrow\alpha$y$a^{\dagger}\rightarrow\partial_{\alpha}.$La función de onda$\psi\left(\alpha\right)=c_{0}\alpha+c_{1}$es una función de$\alpha$.

La transformación lineal más general de la representación del número de partículas a la$\alpha$la representacion es$\psi\left(\alpha\right)=\sum_{n=0}^{1}U_{\alpha,n}c_{n},$es decir, formalmente se puede escribir como una matriz$U$con una variable de Grassmann como índice y un índice discreto. Esto parece complicado, pero$U_{\alpha,n}=\alpha x_{n}+y_{n}$se puede ampliar en$\alpha$y está determinado por los cuatro números reales o complejos$x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}.$Para averiguar cómo la traza de una matriz$W_{m,n}$parece en el$\alpha$representación de la inversa$V_{n,\alpha}=\alpha p_{n}+q_{n}$de la matriz$U$se necesita Por lo tanto, requerimos

$$\sum_{n}U_{\alpha,n}V_{n,\beta}=\sum_{n}\left(\alpha\beta x_{n}p_{n}+\alpha x_{n}q_{n}+\beta y_{n}p_{n}+y_{n}q_{n}\right)=\beta-\alpha=\delta\left(\alpha-\beta\right).$$

Él$O\left(\alpha\beta\right)$,$O\left(\alpha\right)$,$O\left(\beta\right)$y$O\left(1\right)$términos determinan los cuatro coeficientes$p_{0},p_{1},q_{0},q_{1}$de$V$. El resultado es$p_{n}=\left(\lambda x_{1},-\lambda x_{0}\right)$y$q_{n}=\left(\lambda y_{1},-\lambda y_{0}\right)$con$\lambda=1/\left(x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}\right).$

Para obtener la traza, también se necesita la relación de completitud en la representación del número de partículas, que toma la forma

$$\int\mathrm{d}\alpha V_{m,\alpha}U_{-\alpha,n}=\int\mathrm{d}\alpha\left(\alpha p_{m}+q_{m}\right)\left(-\alpha x_{n}+y_{n}\right)=p_{m}y_{n}-q_{m}x_{n}=\delta_{m,n}.$$

Esta ecuación esencialmente también es puramente algebraica y fácil de verificar con$\int\mathrm{d}\alpha=\partial_{\alpha}$y la solución explícita para$p$y$q$. Simplemente revise los casos$mn\in\left\{ 00,01,10,11\right\}$. El signo menos es esencial.

Para obtener la expresión de la traza, inserte esto$\delta_{m,n}$en

$$\sum_{m,n}\delta_{m,n}W_{n,m}=\int\mathrm{d}\alpha\sum_{mn}U_{-\alpha,n}W_{nm}V_{m,\alpha}=\int\mathrm{d}\alpha W_{-\alpha,\alpha}.$$