Derivadas del Lagrangiano para partícula puntual masiva relativista

Esto es lo que sucede cuando sobrecargas la notación y mezclas cuál es la curva en el espacio-tiempo y cuáles son las coordenadas en el espacio-tiempo, y mezclas varias funciones dándoles los mismos nombres.

Mi primera sugerencia es que uses la notación$v^a$para el término de velocidad, de modo que$x^a,v^a$son independientes Más formalmente, el Lagrangiano es una función (en el paquete tangente de una variedad, cuya representación en términos de un gráfico es) dada por

$$\begin{align} L(x,v)&=-mc\sqrt{g_{ab}(x)v^av^b} \end{align}$$ Entonces, $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial v^a}(x,v) &= mc\frac{g_{ab}(x)v^b}{\sqrt{g_{kl}(x)v^kv^l}}\tag{$*$} \end{align}$$ Tenga en cuenta que aquí$L$es (como se mencionó anteriormente) simplemente una función de dos variables$(x,v)\in\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n$, por lo que tiene sentido hablar de la$2n$Derivadas parciales$\frac{\partial L}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial L}{\partial x^n},\frac{\partial L}{\partial v^1},\dots,\frac{\partial L}{\partial v^n}$.

A continuación, lo que requerimos en las ecuaciones de Euler-Lagrange es una curva$\gamma:\Bbb{R}\to TM$, que elevamos a$\gamma':\Bbb{R}\to TM$. De todos modos, sin profundizar demasiado en la geometría diferencial, una vez que elija gráficos (es decir, coordenadas), puede pensar en ellos como curvas estándar$\gamma:\Bbb{R}\to\Bbb{R}^n$y su velocidad$\dot{\gamma}:\Bbb{R}\to\Bbb{R}^n$. El principio de "mínima" acción establece que una curva$\gamma$satisface las ecuaciones de movimiento si y solo si para cada valor de parámetro$\lambda\in\Bbb{R}$, uno tiene

$$\begin{align} \frac{d}{ds}\bigg|_{s=\lambda}\left(s\mapsto \frac{\partial L}{\partial v^a}\bigg|_{(\gamma(s), \dot{\gamma}(s))}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^a}\bigg|_{\gamma(\lambda), \dot{\gamma}(\lambda)}&= 0 \end{align}$$ En otras palabras, USTED REALIZA PRIMERO LAS DERIVADAS PARCIALES Y SÓLO DESPUÉS LLEVA LA CURVA (y no$\frac{d}{d\lambda}$). Disculpe las mayúsculas, pero creo que este es un punto que se pasa por alto por completo en cualquier tratamiento de la mecánica lagrangiana y es una de las mayores fuentes de confusión. Además, soy claramente consciente de que la expresión anterior es muy engorrosa de escribir, pero al menos es 100% inequívoca y es la forma explícita/precisa de escribir las cosas (y no apreciar esto contribuye a su confusión).

En tu caso, te estás poniendo el misterioso "$0=0$" (asumiendo$g_{ab}$en realidad no depende de$x$) porque primero conectó la curva y luego (erróneamente) trató de hacer derivadas parciales (porque su notación hace que "parezca bien" cuando de hecho no lo es). Más explícitamente, lo que dijiste es que podemos elegir una parametrización de la curva tal que para cada$\lambda$,$g_{ab}(\gamma(\lambda))\dot{\gamma}^a(\lambda)\dot{\gamma}^b(\lambda)=\text{const}$. Ok, eso es ciertamente cierto, pero esto significa que la función$\ell:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$definido como

$$\begin{align} \ell(\lambda)&=L(\gamma(\lambda),\dot{\gamma(\lambda)})\\ &=-mc\sqrt{g_{ab}(\gamma(\lambda))\dot{\gamma}^a(\lambda)\dot{\gamma}^b(\lambda)}\\ &=-mc^2 \end{align}$$ es constante SIN EMBARGO,$\ell$y$L$NO tienen la misma función, pero estás pensando que lo son. La afirmación correcta es que$\ell'=0$, Eso no$\frac{\partial L}{\partial v^a}=0$, y por extensión, el mapeo$\lambda\mapsto \frac{\partial L}{\partial v^a}|_{\gamma(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda)}$no es el mapeo cero. Es este abuso de la notación lo que te está haciendo tropezar completamente (tú escribiste$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^a}=-\frac{\partial mc^2}{\partial \dot{x}}=0$, cuando en todo caso deberías haber escrito$\frac{\partial \ell}{\partial \dot{x}^a}=0$. Pero por supuesto,$\ell$es una función de una variable, por lo que usar derivadas parciales no tiene sentido. Por lo tanto, al escribir las cosas con claridad, puede detectar de inmediato dónde está cometiendo errores). Solo para completar, la fórmula correcta es (según$(*)$arriba) $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial v^a}\bigg|_{(\gamma(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))}&= mc\frac{g_{ab}(\gamma(\lambda))\,\,\dot{\gamma}^b(\lambda)}{\sqrt{g_{kl}(\gamma(\lambda))\dot{\gamma}^k(\lambda)\dot{\gamma}^l(\lambda)}}\\ &=mc\frac{g_{ab}(\gamma(\lambda))\,\,\dot{\gamma}^b(\lambda)}{c}\\ &=m\cdot g_{ab}(\gamma(\lambda))\,\, \dot{\gamma}^b(\lambda) \end{align}$$ Por lo tanto, puede ver claramente ahora que no hay razón para que esto sea idénticamente cero para todos$\lambda$.

Este es un problema de definición y notación muy básico, que golpeo hasta la muerte en la siguiente respuesta de MSE Acerca de la "ambigüedad" de la función explícita e implícita de una variable (sí, este es un problema básico, pero realmente creo que podría beneficiarse de ser más cuidado con lo básico).

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Otros enlaces

A continuación hay algunas respuestas que he escrito que creo que podrían ayudarlo a aclarar algunos problemas realmente básicos (particularmente porque explico dónde está ocurriendo exactamente el descuido de la notación física y dónde están las "trampas". Una vez que conozca estas "trampas", por supuesto, puede volver a escribir descuidadamente/sucintamente)

• Diferenciación en el Problema Geodésico . Aquí la pregunta de OP es sobre cómo se puede pensar en$x, \dot{x}$como variables independientes para la diferenciación parcial (por lo que no está directamente relacionado con su pregunta aquí), pero explico qué representa realmente la notación y enfatizo la importancia de realizar un seguimiento de cuál es la función y dónde se está evaluando.

• Duda sobre derivadas ordinarias y parciales . Aquí, OP está confundido acerca de una aplicación simple de la regla de la cadena (por supuesto, no es su confusión aquí), pero el error que comete OP es el mismo que comete usted, es decir, confundir dos funciones$\Lambda$y$L$, donde el primero se obtiene por una cierta composición con el segundo.

Ya hay una buena respuesta de peek-a-boo. Aquí daremos una respuesta equivalente desde la perspectiva de la acción en lugar de la lagrangiana.

1. En primer lugar, recuerda que la acción

   $$S[x]~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda ~L~=~-E_0 \Delta \tau \tag{1}$$ de una partícula masiva relativista es menos el resto de la energía$E_0=m_0c^2$veces el cambio$\Delta \tau=\tau_f-\tau_i$en el momento oportuno, cf. por ejemplo , esta publicación Phys.SE relacionada. ¡Entonces el principio de acción (1) maximiza el tiempo propio ! El camino de la solución es una geodésica en ese sentido.

2. En segundo lugar, recuerde que el principio de acción estacionaria (1) por construcción mantiene los puntos finales$\lambda_i$y$\lambda_f$fijo durante la variación.

TL; DR: El problema surge porque OP intenta arreglar el parámetro worldline$\lambda=\tau$como tiempo propio antes de la variación.

1. Por un lado, como consecuencia, OP corrige los puntos finales$\lambda_i=\tau_i$y$\lambda_f=\tau_f$.

2. Por otro lado, de acuerdo con (1) todas las rutas (virtuales o no) ahora tendrán el mismo valor de acción dado por los puntos finales. Es decir, el principio de acción se ha vuelto inútil. No se puede utilizar para determinar la geodésica real.

El mismo punto también se hace en mis respuestas de Phys.SE aquí y aquí .

Para derivar realmente la ecuación geodésica , consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.