Usando el elemento de área en la derivación de geodésica

Una partícula traza una línea de palabras, por lo que la acción es proporcional a la longitud del arco,

$$S = \int \mathrm{d}s \, \sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu}$$

Variando la acción, como dijiste, da lugar a las ecuaciones de Euler-Lagrange que son equivalentes a las ecuaciones geodésicas. Si consideráramos una acción proporcional al área, estaríamos describiendo una cadena que traza una hoja de palabras en lugar de una línea. si denotamos$\sigma^\alpha$las coordenadas intrínsecas colectivas en la hoja, entonces la métrica inducida está simplemente dada por,

$$\gamma_{\alpha \beta} = \frac{\partial X^\mu}{\partial \sigma^\alpha}\frac{\partial X^\nu}{\partial \sigma^\beta} g_{\mu\nu}$$

dónde$X^\mu$denotan las funciones de incrustación, y$g_{\mu \nu}$es la métrica del espacio de destino. Ingenuamente, entonces escribiríamos la acción como,

$$S = -T\int \mathrm{d}^2 \sigma \, \sqrt{-\det\gamma} = -T \int \mathrm{d}^2 \sigma \, \sqrt{(\dot{X} \cdot X')^2 -(\dot{X})^2 (X')^2}$$

con contracción implícita con la métrica, los primos denotan diferenciación con respecto a$\sigma$, y puntos representados con respecto a$\tau$, como elegimos$\sigma^\alpha = (\tau, \sigma)$. El constante$T$tiene dimensiones de tensión; Si bien no está relacionado con la pregunta, en la acción Nambu-Goto está dado por,

$$T=\frac{1}{2\pi \alpha'}$$

dónde$\alpha'$es la pendiente Regge universal. El$m^2$contra$J$gráfico de hadrones da lugar a una línea de regresión lineal, que tiene un gradiente$\alpha'$, de ahí el nombre. Históricamente, la teoría de cuerdas se exploró por primera vez como un medio para explicar las interacciones fuertes, en lugar de la gravedad cuántica.

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Fuente: notas de la conferencia de David Tong sobre teoría de cuerdas, en http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string .

Esto está algo fuera de mi área, pero Elie Cartan desarrolló una forma de geometría diferencial basada en el elemento de área en lugar del elemento de línea. La principal referencia en francés es E. Cartan. Les espaces métriques fondés sur la notion d'aire . Hay un artículo arxiv relativamente reciente en inglés El concepto de ortogonalidad en la geometría de Cartan basado en el concepto de área que amplía estas ideas. el resumen dice

En 1931, Elie Cartan construyó una geometría que rara vez se consideraba. Cartan propuso una forma de definir una métrica infinitesimal ds a partir de un problema variacional sobre hipersuperficies en una variedad n-dimensional$\mathcal{M}$. Esta distancia depende no sólo del punto$\text{m}\in\mathcal{M}$sino sobre la orientación de un hiperplano en el espacio tangente$T_{\text{m}}\mathcal{M}$. Su primer paso es una definición natural de la dirección ortogonal a dicho hiperplano tangente. En este trabajo lo ampliamos, partiendo de consideraciones del cálculo de variaciones.