Ecuación de Euler-Lagrange en Relatividad General

En Relatividad el Lagrangiano de una partícula libre es

$$\begin{align} \mathcal L=\sqrt{g_{ab}\frac{dx^a}{d\tau}\frac{dx^b}{d\tau}}\end{align}$$ Desde $\mathcal L$si la parametrización es invariable, siempre podemos establecer $$\mathcal L=1.$$ En ese caso, ¿cómo puede la ecuación de Euler-Lagrange

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu}\right) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu} &=0 \end{align}$$ ¿tener sentido? como puedo $\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{x}^\mu}$y $\frac{\partial \mathcal L}{\partial {x}^\mu}$no ser cero?