¿Por qué una geodésica temporal maximiza la longitud del camino?

Primero esbozamos una prueba de que una geodésica temporal es un máximo de tiempo propio. (Excluimos los puntos de silla por ahora).$\gamma$sea ​​una curva que satisfaga la ecuación geodésica, es decir, es un extremo del tiempo propio definido por$\tau[\gamma]:=\int\sqrt{-\langle\dot\gamma,\dot\gamma\rangle}\,\mathrm{d}t$. Es bastante simple demostrar que siempre existe una curva$\mu$para cual$\tau[\mu]<\tau[\gamma]$, Insinuando$\gamma$no es un mínimo. construir a lo largo$\gamma$un "tubo" que es arbitrariamente ancho. Dejar$\mu$sea ​​una curva que tenga los mismos puntos inicial y final que$\gamma$. Dejar$\mu$estar confinado al tubo a lo largo$\gamma$. Ahora viento$\mu$a lo largo del tubo para que sea casi nulo, es decir, la tangente de la curva se acerca al cono nulo en todos los puntos del tubo. Así hemos construido una curva con$\tau[\mu]$arbitrariamente cerca de cero, que se puede hacer menor que$\tau[\gamma]$.

Esto implica que una geodésica no es un mínimo, pero no puede determinar que una geodésica temporal no sea una silla de montar. Sin embargo, esto tampoco es del todo cierto. Aquí citamos el Teorema 9.9.3 en [1]$^1$.

Dejar$\gamma$ser una curva temporal suave que conecta dos puntos$p,q$. Entonces la condición necesaria y suficiente de que$\gamma$maximizar localmente el tiempo adecuado entre$p$y$q$sobre variaciones suaves de un parámetro es que$\gamma$sea ​​una geodésica sin punto conjugada a$p$entre$p$y$q$.

Entonces, una geodésica temporal no es necesariamente un máximo de tiempo propio. El estudio de las geodésicas se relaciona con la estructura causal, Refs. [1] y [2] son ​​muy recomendables para este propósito.

Dos referencias estándar sobre la estructura causal son:

[1] RM Wald, Relatividad General (1984).

[2] SW Hawking y GFR Ellis, La estructura a gran escala del espacio-tiempo (1973).

$^1$Esto a su vez se cita de la Proposición 4.5.8 en [2], pero prefiero la redacción de [1]. Tenga en cuenta que la prueba completa se encuentra en [2].

Piense en la paradoja de los gemelos , en la que un gemelo viaja al espacio en una nave espacial a gran velocidad y regresa, mientras que el otro gemelo permanece estacionario en la Tierra. Al final, el gemelo que viaja en una nave espacial habrá envejecido menos debido a la dilatación del tiempo. Podría decirse que el gemelo que permanece en la Tierra viaja a lo largo de una geodésica, y habrá envejecido más que su gemelo (que se desvió de la geodésica), es decir, su camino temporal tendrá un tiempo propio mayor (como la "longitud" de un tiempo similar). camino es su propio tiempo). Este es exactamente el principio de maximización del camino en la relatividad general.