Principio de variación para una partícula puntual (masiva o sin masa) en un espacio curvo

Question

Principio de variación para una partícula puntual (masiva o sin masa) en un espacio curvo

Física
geodésicas
relatividad general
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
principio variacional

FilosóficaFísica

Sabemos que para una partícula puntual, la acción es

S [X, mi] = \frac{1}{2} \int_{λ_{A}}^{λ_{B}} d λ [{mi}^{- 1} (λ) {gramo}_{m v} (X (λ)) {\dot{X}}^{m} (λ) {\dot{X}}^{v} (λ) - (metro C)^{2} mi (λ)],

$S[x,e] ~=~ \frac{1}{2}\int_{\lambda_A}^{\lambda_B} d\lambda\left[e^{-1}(\lambda)~g_{\mu\nu}(x(\lambda))~\dot{x}^\mu(\lambda)~\dot{x}^\nu(\lambda) -(mc)^2e(\lambda)\right] ,$

con convenio de firma $(-,+,+,+)$ . Se mencionó en algún sitio web cuando busqué en Google que $e$ y $x$ son las variables dinámicas y de ellas debemos obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange.

¡Me preguntaba cómo comenzar ya que hace solo unos minutos me encontré por primera vez con esta variable einbein (que en primer lugar no sabía que era una variable)!

Respuestas (1)

Principio de variación para una partícula puntual (masiva o sin masa) en un espacio curvo

qmecanico · Answer 1

El campo de einbein $e(\lambda)\neq 0$ no es un campo dinámico porque no hay $\dot{e}(\lambda)$ presente. Es el llamado campo auxiliar o multiplicador de Lagrange generalizado. Su EL eq. simplifica a
$\begin{matrix} (1) & (metro C mi)^{2} \approx - {gramo}_{m v} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v} . \end{matrix}$ $(mce)^2~\approx~-g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu} . \tag{1}$ [Aquí el $\approx$ símbolo significa igualdad módulo eom.] Aquí $m$ es la masa en reposo de la partícula puntual. Consulte también esta publicación relacionada con Phys.SE y los enlaces que contiene.
En el caso masivo $m>0$ , podemos integrar el $e$ campo, lo que significa reemplazarlo en la acción $S[x,e]$ por su eom
$\begin{matrix} (2) & mi \approx \pm \frac{1}{metro C} \sqrt{- {gramo}_{m v} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}}, \end{matrix}$ $e~\approx~\pm\frac{1}{mc}\sqrt{-g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}} ,\tag{2}$ que tiene dos ramas. La acción resultante es $\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} S_{\pm} [X] := & S [X, mi = \pm \frac{1}{metro C} \sqrt{\dots}] \\ = & \mp metro C \int d λ \sqrt{- {gramo}_{m v} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}} {\begin{matrix} < \\ > \end{matrix}} 0. \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S_{\pm}[x]~:=~&S\left[x,e=\pm\frac{1}{mc}\sqrt{ \ldots}\right]\cr ~=~&\mp mc \int \!d\lambda~ \sqrt{- g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}~ \left\{ \begin{array}{c} < \cr > \end{array}\right\}~0. \end{align}\tag{3}$ El $S_{+}[x]$ rama es la acción de raíz cuadrada estándar para una partícula puntual masiva, cf. por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones. el minimo de $S_{+}[x]$ (y el máximo de $S_{-}[x]$ ) se obtiene para curvas geodésicas temporales $x^{\mu}(\lambda)$ . A menudo tiramos a la basura $S_{-}[x]$ rama ya que estamos más interesados en el mínimo. Esto se puede codificar en el principio variacional imponiendo que el campo de einbein $e(\lambda)>0$ es positivo.
En el caso sin masa $m=0$ , ecuación (1) se convierte
$\begin{matrix} (4) & {gramo}_{m v} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v} \approx 0, \end{matrix}$ $g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu} ~\approx~0, \tag{4}$ que es la ecuación de movimiento (EOM) para una partícula sin masa, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Principio de variación para una partícula puntual (masiva o sin masa) en un espacio curvo

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qmecanico

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