¿Geodésicas del principio variacional con respecto a la coordenada?

Una geodésica puede ser parametrizada por cualquier parámetro que aumente monótonamente a lo largo de la geodésica. Para las geodésicas temporales, que es lo que tenemos en mente cuando las derivamos minimizando$\int d\tau$, podemos usar una coordenada$t$como parámetro, siempre que el campo vectorial correspondiente$\partial/\partial t$está en todas partes como temporal. Esto asegura que$t$aumenta monótonamente a lo largo de cualquier línea temporal temporal. El problema es que la ecuación geodésica proviene de la extrema de la integral de$\sqrt{L}$, que no necesariamente da la ecuación habitual de Euler-Lagrange para$L$.

Para ver cómo funciona esto, comience con

$$L(\lambda) = g_{ab}\dot x^a \dot x^b$$ dónde$\dot x^a \equiv dx^a/d\lambda$, dónde$\lambda$es cualquier parámetro que aumenta monótonamente a lo largo de líneas de mundo temporales. La cantidad $$\int \sqrt{L(\lambda)}\,d\lambda$$ es reparametrización-invariante (intuitivamente, la$d\lambda$'s cancel), por lo que es lo mismo sin importar qué parámetro$\lambda$usamos. En particular, es lo mismo si o no$\lambda$termina siendo el tiempo propio de la línea de tiempo; ni siquiera necesita ser un parámetro afín. En particular, puede ser una de las coordenadas si esa coordenada aumenta monótonamente a lo largo de todas las líneas temporales temporales.

La condición geodésica es

$$0=\delta \int \sqrt{L(\lambda)}\,d\lambda.$$ Usar $$\begin{align} \delta \int \sqrt{L(\lambda)}\,d\lambda &\propto \int \frac{1}{\sqrt{L}}\left( \frac{\partial L}{\partial x^a}\delta x^a + \frac{\partial L}{\partial \dot x^a}\delta \dot x^a \right)d\lambda \\ &= \int \left( \frac{1}{\sqrt{L}}\frac{\partial L}{\partial x^a} - \frac{d}{d\lambda}\left[\frac{1}{\sqrt{L}} \frac{\partial L}{\partial \dot x^a}\right] \right)\delta x^a\,d\lambda \end{align}$$ para concluir que la ecuación geodésica es $$\frac{\partial L}{\partial x^a} - \sqrt{L}\frac{d}{d\lambda}\left[\frac{1}{\sqrt{L}} \frac{\partial L}{\partial \dot x^a}\right] =0.$$ En el caso especial en que el parámetro$\lambda$se establece igual (en retrospectiva) al tiempo propio de la línea de palabras, la ecuación se simplifica porque$L=1$en ese caso. Más generalmente, para un parámetro afín, tenemos (por definición)$L=$constante, por lo que la ecuación se simplifica de nuevo de la misma manera, dejando la ecuación habitual de Euler-Lagrange. Pero para un parámetro general, como una coordenada temporal, la ecuación no se simplifica de esa manera; la derivada con respecto a$\lambda$actuará de forma no trivial sobre el factor$\sqrt{L}$, lo que lleva a un término adicional en comparación con la forma habitual de la ecuación geodésica. A pesar del término extra, el resultado es correcto. La reparametrización-invariancia de$\int \sqrt{L(\lambda)}\,d\lambda$implica que la ecuación resultante selecciona el mismo conjunto de líneas de mundo (las que llamamos geodésicas) sin importar qué parametrización monotónica hayamos usado.

Comentarios a la publicación (v2):

1. Tenga en cuenta que uno no puede usar el tiempo adecuado$\tau$(o longitud de arco) como parámetro independiente$\lambda$ antes de aplicar el principio de acción estacionaria para encontrar geodésicas. Esto se explica en mi respuesta Phys.SE aquí , que también explica la conexión con la raíz cuadrada de Lagrange correspondiente.

2. Para el lagrangiano sin raíz cuadrada, solo después de realizar la variación, se parametriza con afinidad una solución estacionaria wrt. momento apropiado$\tau$(si la geodésica es temporal, es decir, si la partícula puntual es masiva).