Formulación lagrangiana para geodésicas similares a la luz

La acción relativista estándar de partículas libres es

$$S[x] = - m \int d\tau \sqrt{ - g_{\mu\nu}(x) {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu } ~.$$ Las ecuaciones de movimiento derivadas de esta acción son $${\ddot x}^\lambda + \Gamma^\lambda_{\mu\nu}[g(x)] {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu = {\dot x}^\lambda \partial_\tau \log \sqrt{ - g_{\mu\nu}(x) {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu }$$

Por supuesto, esta acción no es adecuada para describir partículas sin masa. Sin embargo, es posible modificar un poco el Lagrangiano, lo que permite hacerlo.

Introducimos un campo auxiliar$e(\tau)$y considere el lagrangiano

$$S[e,x] = \frac{1}{2} \int d\tau \left[ \frac{1}{e(\tau) } g_{\mu\nu}(x) {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu - m^2 e(\tau) \right] ~.$$ Tenga en cuenta que $e(\tau)$no tiene derivadas temporales en la acción y por tanto aparece como un campo auxiliar. Es fácil demostrar que las ecuaciones de movimiento derivadas de $S[e,x]$es completamente equivalente a $S[x]$. Las MOE son $$g_{\mu\nu}(x) {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu + m^2 e^2 = 0 ~, \qquad {\ddot x}^\lambda + \Gamma^\lambda_{\mu\nu}[g(x)] {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu = {\dot x}^\lambda \partial_\tau \log e$$ Así, las acciones $S[x]$y $S[x,e]$son clásicamente equivalentes. Sin embargo, $S[x,e]$tiene dos ventajas sobre $S[x]$.

1. $S[x,e]$es cuadrático en$x$. La molesta raíz cuadrada en$S[x]$ha sido removido. Por lo tanto, es significativamente más fácil cuantificar$S[x,e]$.

2. $S[x,e]$está completamente bien definida en el límite sin masa.

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Para los lectores avanzados, también agregaré que$S[x,e]$tiene una interpretación muy interesante como un modelo sigma unidimensional no lineal. La acción tiene un$\tau$simetría de reparametrización bajo la cual

$$\tau \to \tau' ~, \qquad e(\tau) \to e'(\tau) \quad \text{where}\quad e(\tau) = \frac{d\tau'}{d\tau} e'(\tau')~.$$ Esto muestra que $e(\tau)$se puede considerar como una métrica unidimensional, $ds^2 = \gamma_{\tau\tau} d\tau^2 = e(\tau)^2 d\tau^2$. Entonces podemos escribir la acción como $$S[e,x] = \frac{1}{2} \int d\tau \sqrt{\gamma} \left[ \gamma^{\tau\tau} g_{\mu\nu}(x) \partial_\tau x^\mu \partial_\tau x^\nu - m^2 \right] ~.$$ Esto es un $d=1$NLSM con una "constante cosmológica" proporcional a $m^2$.

En la teoría de cuerdas, la generalización correspondiente que se obtiene es una$d=2$NLSM.