Ecuación geodésica nula

Por supuesto, si elige una parametrización de cualquier curva que satisfaga $$g_{ij}V^iV^j = \text{const.}$$ . Esto sigue siendo cierto a lo largo de la curva. Estoy preguntando si la constante es cero, lo que hace que la curva sea nula y cualquier reparametrización no cambia el cero, ¿cuál es el parámetro afín y cuál es la ecuación geodésica derivada de él?

El parámetro afín en GR es el tiempo adecuado $\tau = \int d\tau = \int \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}}~d\lambda$. Las declaraciones $d\tau > 0$, $d\tau < 0$y $d\tau = 0$son invariantes bajo cualquier transformación de coordenadas y parametrización. Si está hablando de geodésicas nulas, el tiempo adecuado ya no es una buena parametrización. Tienes que tomar una parametrización diferente $\lambda \ne \tau$entonces. Las ecuaciones geodésicas para esta parametrización siguen siendo la Ecuación de Euler-Lagrange para $L = \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}}$

@user3229471: Una solución a las ecuaciones geodésicas que satisface $g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\mu}{d\lambda} = 0$una vez en el camino lo satisfará en todas partes del camino y para cualquier parametrización $\lambda$. En este sentido, la declaración de que una ruta es nullgeodésica es una declaración independiente de la parametrización (como debería ser, ya que a una ruta no le "importa" su parametrización).

Entonces, la verdadera diferencia sobre los caminos de tiempo/luz/espacio es solo las condiciones iniciales que les impones. Todas son soluciones de las mismas ecuaciones geodésicas (que son las ecuaciones de Euler-Lagrange para un tiempo propio estacionario $\tau$y una cierta parametrización $\lambda$)

en serio, porque $d\tau > 0$o $d\tau < 0$es invariable en todo el camino, es por eso que todavía se puede tomar $\tau$como una parametrización (natural) de geodésicas similares al tiempo/espacio en GR.

Solo quiero decir que si es el caso nulo, es difícil mostrar cómo extermizar el Lagrangiano y obtener la ecuación geodésica habitual. y ¿Cuál es el parámetro afín si no es el tiempo o la duración adecuados?

@ user3229471: el hecho de que para geodésicas nulas $\tau = \int d\tau = 0$no significa que no pueda aplicar el cálculo de variación al funcional (!) $\tau$. En las variedades euclidianas habituales, el parámetro afín $\tau$es la longitud a lo largo del camino. Puede usarse como una parametrización porque esta longitud es una función monótona a lo largo del camino. En GR, esta monotonía también se aplica a las rutas de tiempo/espacio, de modo que sigue siendo una parametrización válida. Sin embargo, $\tau = 0$a lo largo del camino de las geodésicas nulas.

Por eso hay que elegir una parametrización diferente. Aún así, las ecuaciones de Euler-Lagrange son las que debes resolver si quieres obtener geodésicas. Puedes expresar estas ecuaciones con paramatizaciones $\lambda \ne \tau$. No hay dificultad para esto. Sin embargo, es probable que esas ecuaciones se transformen de manera diferente bajo transformaciones de coordenadas ya que en general $\lambda$no será un escalar entonces. Aún así, esto no es un problema.

Puede ser interesante pensar en esto como un proceso limitante. Vemos una geodésica nula como el límite de las geodésicas temporales.