Propiedades del espectro de un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert separable

(1) Sí, el espectro de puntos es contable en sus hipótesis: de lo contrario, el operador tendría un conjunto incontable de vectores ortogonales por pares, ya que los vectores propios de un operador autoadjunto con diferentes valores propios son ortogonales. Esto es imposible porque, en cada espacio de Hilbert, cada conjunto de vectores ortogonales (normalizados) puede completarse en una base de Hilbert mediante el lema de Zorn y cada base de Hilbert es contable si el espacio es separable.

(2) No, no es necesariamente cierto que el espectro continuo sea incontable. Puede tener un solo punto en el espectro continuo, por ejemplo. Este es el caso del espectro del operador autoadjunto$1/H$, donde$H$es el hamiltoniano del oscilador armónico. El único punto del espectro continuo es$0$.

COMENTARIO _ Sin embargo, no creo que discreto sea un adjetivo realmente apropiado para el espectro de puntos. Mi impresión es que su idea de discreto implica el hecho de que los puntos están aislados. Este no es el caso para el espectro de puntos en general, incluso si el espacio de Hilbert es separable. Puede tener un espectro de puntos que coincida con números racionales, que son densos en$\mathbb R$como bien conocido.

De hecho, hay otras descomposiciones del espectro. Dentro de cierto enfoque, se define el llamado espectro discreto como la parte del espectro puntual formada por valores propios aislados cuyos espacios propios son de dimensión finita.

Si el espacio de Hilbert no es separable, incluso es posible construir un operador autoadjunto cuyo espectro puntual sea el entero$\mathbb R$.

COMENTARIO 2 . No es necesario introducir la noción de espacio de Hilbert amañado para definir las nociones de valores propios y vectores propios aproximados. Dado un operador autoadjunto$A:D(A)\to H$en el espacio de Hilbert$H$, es posible demostrar que$\lambda \in \sigma_c(A)$si y solo si$\lambda$no es un valor propio (en sentido propio) y, para cada$\epsilon>0$hay$\psi_\epsilon \in D(A)$con$||\psi_\epsilon||=1$tal que$||A\psi_\epsilon - \lambda \psi_\epsilon|| < \epsilon$.

Primero, respondamos las preguntas exactamente como las formulaste:

El espectro de puntos siempre es discreto en el sentido de que consta de muchos puntos contables como máximo.

Esto es cierto demostrando los siguientes resultados: a) el espacio generado por todos los vectores propios es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert, por lo que tenemos un sistema ortonormal de vectores propios, b) dos vectores propios de dos valores propios distintos son siempre ortogonales, y c) un sistema ortonormal de un espacio de Hilbert separable es contable. Lo último está implícito en el hecho de que los espacios de Hilbert separables permiten bases de Schauder contables (bases ortonormales) y el hecho de que dos bases deben tener la misma cardinalidad.

Sin embargo, tenga en cuenta que hay un sentido en el que los valores propios no son necesariamente discretos en un sentido diferente de la palabra: el cierre del conjunto de valores propios puede ser mayor. Como ejemplo, considere un espacio de Hilbert$\mathcal{H}$con base ortonormal$|\psi_n\rangle$y definir el operador$K$como$K:|\psi_n\rangle\mapsto 1/n|\psi_n\rangle$. Los valores propios son$1/n$que se acumulan en$0$, que en sí mismo no es un valor propio.

Por otro lado, el espectro continuo puede constar de un solo punto.

Como ejemplo, considere el mismo operador que el anterior. Como el espectro es siempre cerrado,$0$está dentro del espectro, pero no es un valor propio. Puede demostrar fácilmente que es el único punto del espectro que no es un valor propio (la razón es que$K$es compacto y para operadores compactos, los valores propios son densos en el espectro). Por lo tanto$0$es el espectro continuo del operador.

[Se podría argumentar que esta parte del espectro no es exactamente lo que quiere decir con "espectro continuo" de su definición, pero aquí voy a ir con la definición habitual de espectro continuo del libro de texto , que también implica la dicotomía del punto espectro frente a espectro continuo.]

Pero ahora déjame decirte que tu primer párrafo es problemático por muchas razones e introduce muchas más cosas.

En primer lugar, existe algo llamado espectro discreto , que sin embargo no es equivalente al espectro puntual del operador.

Definición: Dejar$A$Sea un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert separable. El espectro discreto consta de todos los valores propios aislados, es decir, valores propios$\lambda$con multiplicidad finita tal que para algunos$\varepsilon>0$, tenemos$\sigma(A)\cap (\lambda-\varepsilon,\lambda+\varepsilon)=\{\lambda\}$. El complemento del espectro discreto se denomina espectro esencial .

Por ejemplo, si toma el operador$K$arriba, entonces el espectro discreto es precisamente el espectro puntual, mientras que el espectro esencial consiste en$0$. Por otro lado, para el operador identidad$I$, claramente el espectro puntual (y también el espectro) consta de$1$, pero el espectro discreto está vacío, ya que el valor propio es de multiplicidad infinita.

La idea es que "discreto" en realidad significa "todos los valores propios que no son puntos de acumulación de valores propios". Claramente, el espectro discreto consta de muchos valores numerables como máximo.

Pero eso no es todo. Puede parecer bastante desafortunado tener$0$ser parte del espectro continuo del operador compacto$K$. En particular, esto hace posible que el espectro continuo consista únicamente en puntos. Al mismo tiempo, los valores propios de$K$ya abarcan todo el espacio de Hilbert$\mathcal{H}$, por lo que no hay necesidad de tener$0$ser una parte real del espectro. Además, como dices, tal vez quieras algo como "el espectro continuo está dado por una parte continua de la línea real". Para tener esto, debe excluir algunos valores del espectro continuo.

Esto se puede hacer de manera sistemática por definición de la medida espectral del operador espacial de Hilbert y considerar la descomposición Radon-Nikodym de la medida con respecto a la medida de Lebesgue en una parte puntual pura , una parte absolutamente continua y una parte singularmente continua :

Teorema: Sea$A$Sea un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert separable. Dejar$\mu$Sea la medida espectral definida para$A$, después$\mu$se puede descomponer en un punto puro par$\mu_{pp}$formado por todos los valores propios de$A$, una parte absolutamente continua$\mu_{ac}$(que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue) y una parte singularmente continua$\mu_{sc}$(el resto").

el apoyo de$\mu_{pp}$(donde es distinto de cero) son entonces los valores propios$\sigma_{pp}(A)$, el apoyo de$\mu_{ac}$se llama espectro absolutamente continuo$\sigma_{ac}(A)$y así mismo tenemos$\sigma_{sc}$. Después

donde la línea superior denota el cierre. Aquí está la parte interesante: una medida que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue no puede tener soporte contable, ya que tales conjuntos tienen medida cero. En otras palabras: para el espectro absoluto (y creo que también para el singularmente continuo), el espectro siempre consta de innumerables puntos.

Además, se puede definir un espacio de Hilbert$\mathcal{H}_{pp}$que consta de todos los vectores propios, y Hilbert spaes$\mathcal{H}_{ac}$y$\mathcal{H}_{sc}$que consiste en todas las "funciones propias aproximadas" del espectro continuo absoluto y singular y esos tres espacios se suman:

En este sentido, esta es también la descomposición "correcta".

Para nuestro operador$K$entonces uno puede ver fácilmente que las partes continuas del espectro están vacías, solo tiene un espectro de puntos puros, exactamente como deseamos.

Tenga en cuenta, sin embargo, que los tres espectros no tienen por qué ser disjuntos. Puede tener un espectro continuo y algunos valores propios incrustados en el espectro continuo.

Finalmente, hagamos un poco de física (al menos casi). Hay un hermoso teorema que te dice que la última descomposición es la correcta para la física. Se llama el teorema RAGE (ver por ejemplo el Teorema 5.7 en el libro de Garald Teschl "Mathematical Methods in Quantum Mechanics" ) y básicamente te dice que si consideras algo de Hamiltonina$H$, la parte pura del punto del espectro forma los estados ligados del operador en el sentido de que las partículas están eternamente confinadas dentro de alguna región. Por otro lado, la parte absolutamente continua forma los estados ilimitados que escapan y nunca regresan (la parte singularmente continua es complicada; por lo general, intenta demostrar que no existe, pero puede interpretarse como estados ilimitados que se escapan en algún momento). infinito, pero hasta entonces volver a donde empezaron una y otra vez).