Unidades de una función delta de dirac en mecánica cuántica

En mecánica cuántica, las funciones propias de la posición son funciones delta de dirac,$A\delta(x-x_0)$, dónde$A$es una constante. Las funciones propias de la posición generalmente se normalizan con una "normalización de función Delta". Esto significa que$\langle x | x' \rangle = \delta(x-x')$, que se puede entender de manera formal si se aplica la propiedad de desplazamiento de una de las funciones delta a la otra en la integral

$$\langle x | x' \rangle = \int_\mathbb{R}\mid A \mid^2\delta(y-x)\delta(y-x')~\mathrm{d}y.$$

Esto da como resultado$\mid A \mid^2 \delta(x-x')$, entonces el coeficiente$A$debe establecerse en$1$. Hasta hoy pensé que entendía este tipo de multa, pero ahora me doy cuenta de que hay un problema con las dimensiones en algún lugar aquí. Para una expresión como$\int_\mathbb{R} \psi^*(x) \psi(x)~\mathrm{d}x$Para ser adimensionales, las funciones de onda del espacio de posición deben tener dimensiones de$\frac{1}{\sqrt{L}}$. Esto significa que una expansión en términos de funciones propias de posición, como

$$\mid \psi \rangle = \int_\mathbb{R} \psi(x) \mid x \rangle~\mathrm{d} x$$ sólo tendría sentido si las propias funciones propias de posición tuvieran unidades de $\frac{1}{\sqrt{L}}$.

Esto es un poco perturbador para mí, el producto interno de dos funciones propias de posición debería, si uno mira la integral,

$$\langle x | x' \rangle = \int_\mathbb{R}\delta(y-x)\delta(y-x')~\mathrm{d}y$$ ser adimensional (dos cosas con dimensiones $\frac{1}{\sqrt{L}}$adentro y de $\mathrm{d}x$factor, con dimensiones $\frac{1}{L}$) pero la normalización de la función delta implica que es una nueva función delta... por lo que tiene dimensiones de $\frac{1}{\sqrt{L}}$! ¿Cómo se puede hacer esto bien?

También me resulta extraño que en otras áreas de la física (electromagnetismo, por ejemplo) las funciones delta suelen tener dimensiones de$\frac{1}{D}$, dónde$D$es la dimensión del argumento. Este parece no ser el caso aquí, y estoy un poco extrañado por eso. Al cambiar de coordenadas cartesianas a polares, por ejemplo, lo natural en el electromagnetismo es considerar

$$\delta(x-x_0) \delta(y-y_0) = \frac{\delta(r-r_0)\delta(\phi-\phi_0)}{r},$$ pero esto confunde las unidades en la mecánica cuántica, porque en la mecánica cuántica el lado izquierdo tendría dimensiones diferentes que el lado derecho... Uno podría quizás considerar $$\frac{\delta(r-r_0)\delta(\phi-\phi_0)}{\sqrt{r}}$$ como lo correcto para escribir en QM, pero debería haber solo una forma de escribir funciones delta en diferentes variables... ¿no es así? el determinante jacobiano debería ir abajo. ¿Cómo tiene esto sentido en QM?