¿Por qué se garantiza que las funciones propias que corresponden a espectros de valores propios discretos/continuos sean normalizables/no normalizables?

Question

¿Por qué se garantiza que las funciones propias que corresponden a espectros de valores propios discretos/continuos sean normalizables/no normalizables?

Sean Allen

Estos hechos se dan por sentados en un texto de QM que leí. La no normalizabilidad supuestamente garantizada de las funciones propias que corresponden a un espectro continuo de valores propios solo está parcialmente justificada por el autor, quien simplemente afirma que la no normalizabilidad está relacionada con el hecho de que tales funciones propias no tienden a cero en el infinito.

No es una respuesta muy satisfactoria. Lo que realmente busco es una explicación basada en el análisis funcional. Creo que hay un resultado generalizado acerca de que los productos internos son finitos para espectros discretos pero infinitos para espectros continuos.

¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre esto?

qmecanico

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/33668/2451

Respuestas (2)

¿Por qué se garantiza que las funciones propias que corresponden a espectros de valores propios discretos/continuos sean normalizables/no normalizables?

Trimok · Answer 1

Esto podría ser una pregunta de matemáticas. Pero si piensas en el aspecto físico de la pregunta, es interesante observar la ecuación de Schrödinger:

Para campos libres (sin potencial), tienes (en unidades $\bar h = m = \omega = 1$ ):

i \frac{\partial Ψ (k, t)}{\partial t} = \frac{k^{2}}{2} Ψ (k, t)

$i\frac{\partial \Psi( k, t)}{\partial t} = \frac{ k^2}{2}\Psi( k, t)$ o

mi \tilde{Ψ} (k, mi) = \frac{k^{2}}{2} \tilde{Ψ} (k, mi)

$E \tilde \Psi( k, E) = \frac{ k^2}{2} \tilde \Psi( k, E)$

Cuya solución es:

Ψ (k, t) \sim {mi}^{- i \frac{k^{2}}{2} t}

$\Psi( k, t) \sim e^{- i \frac{ k^2}{2} t}$

o

\tilde{Ψ} (k, mi) \sim d (mi - \frac{k^{2}}{2})

$\tilde \Psi( k, E) \sim \delta \left(E - \frac{ k^2}{2}\right)$

Aquí $\tilde \Psi( k, E)$ es una transformada de Fourier de $\Psi( k, t)$ .

Está claro, por la forma de las ecuaciones, que no hay restricción sobre $E$ . Es un espectro continuo, y esta es claramente una solución no normalizable.

Sin embargo, con los potenciales, las cosas aparecen de manera diferente y tendrá algunas ecuaciones diferenciales, por ejemplo, para el potencial del oscilador armónico, tendrá:

mi Ψ (k, mi) = \frac{k^{2}}{2} Ψ (k, mi) - \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} Ψ (k, mi)}{\partial k^{2}}

$E \Psi( k, E) = \frac{ k^2}{2} \Psi( k, E) - \frac{1}{2}\frac{\partial^2 \Psi( k, E)}{\partial k^2}$

La solución para $\Psi$ implica una ecuación diferencial de Hermite (multiplicar por alguna exponencial $e^{-k^2}$ ).

Si E toma continua, entonces la solución de Hermite (con un índice real) no está acotada en el infinito, por lo que la solución no es normalizable.

Si queremos una solución normalizable, entonces necesitamos una solución indexada entera (positiva) $H_n$ , cuyo nombre es polinomios de Hermite. En este caso, el espectro de $E$ es discreto

La elección de $E$ discreta (y por lo tanto una solución normalizable) es entonces una elección física. En el caso del oscilador armónico, no es físico suponer que la solución no está acotada en el infinito.

El caso de los polinomios de Hermite es un caso especial de polinomios ortogonales, que es muy adecuado para representar estados ortonormales, correspondientes a valores propios discretos del operador hermitiano Energía.

Esto ha surgido ganancia en otro contexto . Si bien todo lo que dice es correcto, ha ignorado el siguiente paso habitual para el sistema no unido, que es formar soluciones de paquetes de ondas normalizables a partir de soluciones asintóticas no normalizables.

mike piedra · Answer 2

La cuestión es realmente una de definición. En la literatura matemática sobre operadores autoadjuntos, el "espectro discreto" es, por definición, la parte del espectro que consta de estados normalizables, mientras que el "espectro continuo" es la parte en la que no son normalizables. Es posible tener un sistema físico (por ejemplo, un potencial aleatorio en toda la línea real) en el que todos los estados estén localizados (y, por lo tanto, normalizables), pero las energías propias formen un conjunto continuo. El ejemplo de física donde solo los niveles de energía aislados son "discretos" solo se aplica a modelos simples.

No, los espectros discretos y continuos no son por definición como tales. Se definen como un conjunto de puntos y, después de eso, en principio, puede verificar si sus estados propios son normalizables o no.
Mi error... Tiendo a usar "espectro discreto" como sinónimo de "espectro puntual", que es el conjunto de estados propios que son elementos del espacio de Hilbert. De todos modos, un buen lugar para buscar el enlace Physics<-> Math es en.wikipedia.org/wiki/…
Veo que no estoy solo al identificar "espectro discreto" con "espectro puntual": en.wikipedia.org/wiki/Discrete_spectrum

¿Por qué se garantiza que las funciones propias que corresponden a espectros de valores propios discretos/continuos sean normalizables/no normalizables?

Sean Allen

qmecanico

Respuestas (2)

Trimok

dmckee --- gatito ex-moderador

mike piedra

gentil

mike piedra

mike piedra

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