¿Normalización de vectores base con un índice continuo?

Cualquier buena base debe ser completa. Si el conjunto de todos$|x\rangle$está completo, cualquier otro vector$|\psi\rangle$en el espacio de Hilbert de su sistema debe ser escribible como$|\psi\rangle=\sum_{x} |x\rangle\langle x|\psi\rangle$. Esta suma no tiene sentido para variables continuas.$x$, de ahí la necesidad de redefinir la relación de completitud con una integral (como lo demuestra muy bien la respuesta de Jan). Una vez que emplea integrales para definir una relación de completitud significativa, entonces la relación$\langle x|y\rangle =\delta_{x,y}$no es correcto porque da

$$\begin{equation} |y\rangle=\int \mathrm{d}x |x\rangle\langle x|y\rangle=\int \mathrm{d}x |x\rangle\delta_{x,y}=0, \end{equation}$$ lo cual es inconsistente. La salida es definir $\langle x|y\rangle=\delta(x-y)$, que da correctamente $$\begin{equation} |y\rangle =\int \mathrm{d}x |x\rangle\langle x|y\rangle=\int \mathrm{d}x |x\rangle \delta(x-y)=|y\rangle. \end{equation}$$ Ahora $\langle x|y\rangle=\delta(x-y)$lleva a $\langle x|x\rangle=\delta(0)$, que puede que no te guste, pero esto es lo mejor que se puede hacer.

I) Interpretamos la pregunta de OP (v2) de la siguiente manera:

¿Por qué no normalizar

$$\tag{1} \langle x_1 | x_2\rangle~=~\delta_{x_1,x_2}~:=~\left\{ \begin{array}{ccl} 1 & \text{for} & x_1= x_2, \\ 0& \text{for} & x_1\neq x_2, \end{array} \right.$$ a través de una función delta de Kronecker continua en lugar de una distribución delta de Dirac $$\tag{2} \langle x_1 | x_2\rangle~=~\delta(x_1-x_2)~?$$

En pocas palabras, la razón es que el rhs. de la ec. (1) es igual a la función cero casi en todas partes wrt. la medida de Lebesgue.

En esta respuesta, nos gustaría generar intuición a través de paquetes de ondas gaussianas para argumentar que deberíamos usar una normalización de distribución delta de Dirac (2) (posiblemente módulo una constante de normalización convencional) en lugar de una normalización continua de función delta de Kronecker (1).

II) Para ser concretos, por simplicidad veamos un ket

$$\tag{3} |\psi\rangle \quad\longleftrightarrow\quad\psi(x)$$

como una función de onda de posición$\psi(x)\in L^2(\mathbb{R})$en el espacio de Hilbert

$$\tag{4} L^2(\mathbb{R})~=~{\cal L}^2(\mathbb{R})/\sim,$$

donde hemos modificado por una relación de equivalencia "$\sim$". Aquí${\cal L}^2(\mathbb{R})$es el conjunto de funciones cuadradas integrables. Dos funciones$\phi\sim\psi$son equivalentes si$\phi$y$\psi$son iguales en casi todas partes (ae) wrt. la medida de Lebesgue. Ver, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Lectura de superposiciones/productos internos

$$\tag{5} \langle \phi|\psi\rangle ~:=~ \int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~\phi(x)^{\ast}~\psi(x).$$

III) Ahora pragmáticamente, a falta de construcciones matemáticas como distribuciones, ¿qué representaría un estado localizado en$x=x_1$? Permitamos que el paquete de ondas se propague una pequeña cantidad$\epsilon>0$, digamos menor que cualquier resolución experimental. Podemos modelar una función de onda de este tipo mediante una función gaussiana de pico extremadamente estrecho

$$\tag{6} |x_1\rangle \quad\longleftrightarrow\quad \psi_{x_1}(x)~=~ A\epsilon^{-p} \exp\left[-\left(\frac{x-x_1}{2\epsilon}\right)^2\right],$$

dónde$p\in\mathbb{R}$es una potencia fija y$A>0$es una constante de normalización que se determinará a continuación. La normalización de (6) es

$$\langle x_1|x_1\rangle ~\stackrel{(5)}{=}~ \int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~|\psi_{x_1}(x)|^2 ~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{=}~ \sqrt{2\pi}A^2\epsilon^{1-2p}$$ $$\tag{7}\longrightarrow ~\left\{ \begin{array}{ccl} 0 & \text{if} & p<\frac{1}{2} \\ \sqrt{2\pi}A^2& \text{if} & p=\frac{1}{2} \\ \infty& \text{if} &p>\frac{1}{2} \end{array} \right\} \text{ for } \epsilon~\to~ 0^{+}.$$

Para evitar que la normalización (7) desaparezca en el límite$\epsilon\to 0^{+}$, debemos exigir que el poder$p\geq \frac{1}{2}$. La normalización de Kronecker (1) [módulo una constante global] corresponde a la potencia$p=\frac{1}{2}$.

IV) Más generalmente, si asumimos el ansatz (6), entonces la superposición entre dos kets de este tipo$|x_1\rangle$y$|x_2\rangle$se lee en un sentido distribucional

$$\langle x_1|x_2\rangle~\stackrel{(5)}{=}~\int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~\psi_{x_1}(x)^{\ast}~\psi_{x_2}(x) ~\stackrel{(6)}{=}~A^2\int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~\epsilon^{-2p}~ \exp\left[-\left(\frac{x-x_1}{2\epsilon}\right)^2-\left(\frac{x-x_2}{2\epsilon}\right)^2\right]$$ $$~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{=}~\sqrt{2\pi}A^2\epsilon^{1-2p}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x_1-x_2}{2\epsilon}\right)^2\right]$$ $$\tag{8}\longrightarrow ~\left\{ \begin{array}{ccl} 0\text{ almost everywhere} & \text{if} & p<1 \\ 4\pi A^2~\delta(x_1-x_2)& \text{if} & p=1 \\ \text{too singular}& \text{if} &p>1 \end{array} \right\} \text{ for } \epsilon~\to~ 0^{+}.$$

En el último paso usamos la representación del núcleo de calor de la distribución de Dirac . La normalización de Dirac (2) [módulo una constante global] corresponde a la potencia$p=1$. En detalle, si$f(x_1-x_2)$es una función de prueba, entonces la ec. (8) establece que

$$\tag{9}\int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_1~ f(x_1-x_2)~ \langle x_1|x_2\rangle ~\longrightarrow ~\left\{ \begin{array}{ccl} 0 & \text{if} & p<1 \\ 4\pi A^2~ f(0)& \text{if} & p=1 \\ \infty & \text{if} &p>1 \end{array} \right\} \text{ for } \epsilon~\to~ 0^{+}.$$

V) Físicamente, según la regla de Born , la integral (10) de la superposición

$$\tag{10} \left| \int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_1~ \langle x_1|x_2\rangle\right|^2 ~=~1$$

se supone que denota la probabilidad tautológica de que una partícula ubicada en la posición$x_2$pertenece al eje real$\mathbb{R}$con probabilidad 100%.

Comparando ecs. (9) y (10), somos naturalmente llevados a elegir el poder$p=1$, y por lo tanto la normalización de Dirac (2). Tenga en cuenta que el poder$p=1$significa que el estado de posición$|x_1\rangle$no es normalizable y, en particular, no pertenece al espacio de Hilbert, cf. ec. (7).

VI) Una discusión más rigurosa de las ecs. (2) y (10) se pueden dar introduciendo estados propios de cantidad de movimiento. Resulta que en última instancia, la ec. (10) es problemático, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

¿Por qué estos vectores base no pueden normalizarse a uno, solo a la función delta?

Porque eso haría que esos vectores indexados continuamente no fueran adecuados para el papel de una "base continua" para funciones normalizables. Aquí está la explicación. Supongamos alguna función$\psi(\mathbf r)$se expresa como la integral

$$\psi(\mathbf r) = \int c(k) \phi_k(\mathbf r)\,dk,$$ donde las funciones $\phi_k$, $\phi_{k'}$son ortogonales para $k\neq k'$: $$\int \phi_k^*(\mathbf r) \phi_{k'}(\mathbf r)\,d^3\mathbf r = 0$$ (al menos en sentido distributivo).

La expresión anterior de$\psi$se puede describir como "combinación lineal de las funciones base$\phi_k(\mathbf r)$". Si la función$\psi$se va a utilizar para calcular la densidad de probabilidad de acuerdo con la regla de Born, tenemos que exigir

$$\int \psi^*\psi\, d^3\mathbf r = 1.$$ Esto lleva a $$\int \int c^*(k)c(k') (\phi_k, \phi_{k'}) \,dkdk' = 1,~~~(*)$$ dónde $(\phi_k, \phi_{k'})$es un producto escalar de dos funciones indexadas continuamente: $$(\phi_k, \phi_{k'}) = \int \phi_k^*(\mathbf r) \phi_{k'}(\mathbf r)\,d^3\mathbf r.$$

Imagine puntos del plano etiquetados por coordenadas cartesianas$k,k'$. Si tuvieramos$(\phi_k, \phi_{k'}) = \delta_{kk'}$con delta de Kronecker ordinario, el producto escalar sería distinto de cero solo en la diagonal$k=k'$que tiene área cero, mientras que en toda el área grande donde$k\neq k'$se desvanecería. La integral en (*) también se desvanecería y no podría ser igual a 1 según sea necesario.

Una forma de hacer que la integral en (*) tenga un valor distinto de cero es postular que para las funciones ortogonales anteriores,$(\phi_k, \phi_{k'})$debe considerarse como una distribución singular del tipo que introdujo Dirac: traer contribuciones sustanciales de la diagonal$k=k'$solo.

En la práctica elegimos funciones$\phi_k(\mathbf r)$tal que obedezcan

$$(\phi_k, \phi_{k'})= \delta(k-k').$$

Entonces la integral en (*) es

$$\int |c(k)|^2\,dk,$$ que puede ser distinto de cero e igual a 1 para una función correctamente normalizada $c(k)$.

En el lenguaje de los kets, los kets$|x\rangle, |y\rangle$deben ser tales que satisfagan la relación

$$\langle x|y\rangle = \delta(x-y),$$

porque sólo entonces la relación

$$|\psi\rangle = \int |x\rangle \langle x|\psi\rangle \, dx,$$ que es parte de la motivación detrás del formalismo de kets, es válido y consistente con

$$\langle \psi|\psi\rangle = 1.$$

La expresion

$$\langle x|x\rangle$$ no es una expresión válida y generalmente no se usa en manipulaciones con el formalismo bra-ket; si usamos la relación anterior, obtendríamos $\delta(x-x)$, que podría considerarse como infinito positivo o sin ningún significado (ya que $\delta$no es una función ordinaria y no tiene valores de funciones ordinarias con valores numéricos).