Cualquier conjunto con asociatividad, identidad izquierda, inversa izquierda es un grupo

Tu prueba me parece correcta, y también parece que entendiste cuál es el problema con los axiomas. La prueba habitual funciona bien en el siguiente caso:

Dejar$(G, *)$ser un semigrupo. Supongamos
(1)$\exists e \in G$tal que$\forall a \in G,\ ae = a$;
(2)$\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G$tal que para todos$e\in G$satisfaciendo 1,$aa^{-1} = e$.

Entonces es obvio, en este caso, que el elemento$e$en (1) es única: en efecto, dado que$G$es no vacío (por (1)), sea$g\in G$ser arbitrario. Entonces sí$e_1$y$e_2$satisface (1), tenemos$e_1=gg^{-1}=e_2$.

El siguiente caso es más interesante:

Dejar$(G, *)$ser un semigrupo. Supongamos
(1)$\exists e \in G$tal que$\forall a \in G,\ ae = a$;
(2)$\forall e\in G$satisfactoria (1) y$\forall a \in G, \exists a_e^{-1} \in G$tal que$aa_e^{-1} = e$.

El problema es probar realmente la unicidad de la unidad. Vamos a demostrarlo:

Dejar$e$y$f$satisfacer (1). Entonces

Creo que las condiciones podrían establecerse más claramente de la siguiente manera: deje que un conjunto$G$estar equipado con una operación${*}:G\times G\to G$(una operación binaria), un elemento$e\in G$(una operación nula) y un mapa$i:G\to G$(una operación unaria), tal que, para todo$x,y,z\in G$uno tiene

1. $x*(y*z)=(x*y)*z$(asociatividad)
2. $e*x=x$($e$es un inverso izquierdo)
3. $i(x)*x=e$(la operacion$i$produce una inversa a la izquierda, para$e$, de su argumento)

Muestra esa$(G,e,i)$es un grupo, es decir que$e$es también un elemento neutro derecho, y que$i$también produce un inverso derecho (por$e$) de su argumento.

(Por un lado, tras la primera lectura de su pregunta, no me quedó claro que su "para todos$a\in G$" se aplicó hasta el final de la oración; en cambio, pensé que quería probar que si una $a$tiene inversa a la izquierda (por$e$) entonces también tiene inversa por la derecha. Y eso simplemente no es cierto; piense en funciones en un conjunto infinito bajo composición, que es asociativo y tiene un elemento neutral de dos lados, sin embargo, algunos elementos (inyectivos pero no sobreyectivos) tienen un inverso izquierdo pero no un inverso derecho).

En cuanto a una prueba, por una cuestión de estilo, me apegaría a la manipulación estricta de expresiones y evitaría "tal y cual expresión tiene un inverso, aplicarlo a ambos extremos" (aunque esto puede ser preciso, ni siquiera dijiste si " aplicando" está a la izquierda o a la derecha). Verá en el ejemplo en el comentario entre paréntesis anterior que es necesario usar la propiedad inversa para algún otro elemento que no sea$x$, para qué elemento$i(x)$parece el mejor candidato (su prueba lo hace implícitamente).

También creo que es más fácil comenzar con la propiedad inversa a la derecha, que se puede hacer de la siguiente manera:

Aquí hay una prueba corta pero poco intuitiva (lo siento):

Darse cuenta de

También fíjate que$b \ e = b \ (b^{-1} \ b) = (b \ b^{-1}) \ b = e \ b = b$. Por lo tanto, la identidad de izquierda es también la identidad de derecha.

4.38 en Un primer curso de álgebra abstracta (autor???)

Presentaré mi prueba (distinta de las del enlace) para la crítica y luego haré mi pregunta. G es un conjunto y × es una operación binaria asociativa. Supongamos que existe ae∈G tal que, para todos los a∈G, ea=a y a−1a=e para algunos a−1∈G. Demuestra que para la misma e, ae=a y aa−1=e.

a−1(aa−1)a=(a−1a)(a−1a)=ee=e=a−1a=a−1(a−1a)a Como a−1∈G, tiene inversa izquierda ; aplicarlo a ambos extremos, y tenemos (aa−1)a=(a−1a)a. Como resultado, ae = a(a−1a)=(aa−1)a=(a−1a)a=ea.

Para el inverso derecho, comienza con aa−1=a(a−1a)a−1=(aa−1)(aa−1). Dado que × es una operación binaria, aa−1∈G y tiene inversa a la izquierda; aplicarlo a ambos extremos, y tenemos e=aa−1.