¿Qué sucede cuando dividimos G en clases de equivalencia inducidas por su grupo de automorfismos?

Imaginemos que dividimos G en sus órbitas bajo la acción de Aut(G) ( O a = { ϕ ( a ) | ϕ ∈ A tu t ( GRAMO ) } ) y considerar cada órbita como un elemento con la operación siendo la misma que G (por lo que O a • O b = O a b ). Si no me equivoco, esto debería ser un grupo. ¿Este grupo es interesante de alguna manera? Realmente no puedo expresar con palabras cómo/por qué se me ocurrió esto, solo pensé que si dibujamos los ejes de simetría en una forma y tomamos una de las subregiones, nos da información sobre la forma como un todo, y yo Piensa que lo que hice tradujo esa idea del álgebra a los grupos. Estoy muy oxidado con la teoría de grupos, así que me disculpo si alguna parte de esto se expresó incorrectamente o si pasé por alto algo obvio. ¡Gracias por cualquier ayuda!

Esto es, en general, más grueso que la partición en clases de conjugación. No creo que quede mucha estructura. Considera lo siguiente. Dejar pag sea ​​cualquier primo y GRAMO = Z / pag Z . Vemos que solo hay dos órbitas: { 0 } y GRAMO ∖ { 0 } . Independientemente del tamaño de pag .

Respuestas (1)

Su operación propuesta

O a , O b ↦ O a b
de hecho , no siempre está bien definido. Consideremos, por ejemplo, el grupo de racionales, q , con respecto a la adición. Este grupo tiene sólo dos órbitas, a saber q ∖ { 0 } y { 0 } . Esto significa que por ejemplo
O 1 = O − 1  pero  O 1 + ( − 1 ) ≠ O 1 + 1 .

Más generalmente, si GRAMO es un grupo abeliano que tiene un elemento a que no es ni la identidad ni su propio inverso, tendremos

O a = O − a  pero  O a + a ≠ O a + ( − a ) .

Acabo de probar esto en Z/6Z y me di cuenta de esto: estoy muy decepcionado, pensé que encontraría algo realmente genial. ¿Hay quizás alguna otra forma de "reducir" G usando su grupo de automorfismos y aún así conservar la estructura?
¿Qué sucede cuando dividimos G en clases de equivalencia inducidas por su grupo de automorfismos?
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