¿Qué quiere decir Aluffi con 'conjunto puntiagudo' en el libro Álgebra: Capítulo 0?

Los 'conjuntos puntiagudos' no están definidos explícitamente en el libro y he publicado algunos casos en los que se mencionan de acuerdo con el aumento del número de página.

Capítulo 1

Página 19 (Hasta donde yo sé, este es el primer juego puntiagudo mencionado en el libro)

Página 24

Capitulo 2

Página 43

Página 64

Entiendo la construcción en el Capítulo 1, página 24: Ejemplo 3.8, así como la respuesta dada aquí, ¿ por qué la identidad única hace que los grupos sean conjuntos puntiagudos? , pero siento que la respuesta aceptada no aborda la razón por la cual la unicidad de la identidad hace que los 'grupos sean conjuntos puntiagudos' en el sentido del Ejemplo 3.8 en la página 24 (suponiendo que la unicidad de la identidad es relevante en absoluto).

Preguntas

1. Según https://en.wikipedia.org/wiki/Pointed_set , un conjunto puntiagudo es solo un par$(X,x)$dónde$X$es un conjunto y$x\in X$. Pero no estoy seguro de si esto es lo que Aluffi quiere decir, de lo contrario, ¿por qué menciona en el Capítulo 2, página 43, justo después de probar que la identidad es única en cualquier grupo arbitrario que esto 'hace grupos conjuntos puntiagudos' en el sentido del Ejemplo 3.8 en la página 24? Entonces, me parece que el autor está sugiriendo que la singularidad de la identidad es un factor que contribuye a que los grupos sean conjuntos señalados. Pero, por otro lado, considerar el Ejemplo 3.8 no sugiere nada sobre el requisito de unicidad en el contexto de los grupos. Entonces, ¿es importante la unicidad de la identidad en los grupos para establecer que los grupos son conjuntos puntiagudos?

2. https://ncatlab.org/nlab/show/pointed+object define objeto puntiagudo$X$ser un objeto equipado con un elemento global$1\to X$donde un elemento global es solo un morfismo de un objeto terminal$1$a$X$. Un conjunto puntiagudo es el definido para ser un objeto puntiagudo es$\mathbf{Set}$. Ahora, si tomo esta definición de un conjunto puntiagudo, entonces cada conjunto no vacío en$\mathbf{Set}$es un objeto puntiagudo, que no es exactamente lo que el autor tenía en mente en comparación con el Ejemplo 3.8? O tal vez no entendí la definición dada en nLab. ¿Es posible mostrar mediante un ejemplo que esta definición en nLab es de hecho equivalente?

3. Para complicar aún más las cosas, si uso la definición en nLab, entonces en el Capítulo 2, página 64$\text{Hom}_{\mathbf{Grp}}(G,H)$ser un conjunto puntiagudo no tiene sentido para mí, ya que ni siquiera sé en qué categoría se encuentra como objeto. Entonces, ¿qué quiere decir Aluffi con 'conjunto puntiagudo'? Que hizo$\text{Hom}_{\mathbf{Grp}}(G,H)$un conjunto puntiagudo? ¿Es simplemente que no está vacío, o hay algo 'especial' en el morfismo trivial que hace$\text{Hom}_{\mathbf{Grp}}(G,H)$en un conjunto puntiagudo? En este punto, ya ni siquiera sé qué significa conjunto puntiagudo y me siento perplejo en este punto.