Existencia de elemento neutro

Tengo una duda en el siguiente ejercicio:

Dejar ∗ Sea la operación binaria definida en R por:

X ∗ y = X y + ( X 2 − 1 ) ( y 2 − 1 )
∀ X , y ∈ R .

Muestra esa ∗ tiene un neutro y determinarlo explícitamente.

eso ya lo he probado ∗ es conmutativo, por lo que solo basta probar que ∗ tiene neutro en un lado. Así que buscamos mi tal que X ∗ mi = X para todos X ∈ R .

Desarrollando esto tenemos:

X ∗ mi = X mi + ( X 2 − 1 ) ( mi 2 − 1 ) = X ⟺ X ( mi − 1 ) + ( X 2 − 1 ) ( mi − 1 ) ( mi + 1 ) = 0
⟺ ( mi − 1 ) ( X + ( X 2 − 1 ) ( mi + 1 ) ) = 0 ⟺ mi − 1 = 0  o  ( X 2 − 1 ) ( mi + 1 ) + X = 0
⟺ mi = 1  o  mi = 1 − X − X 2 X 2 − 1

Entonces el elemento neutro sería 1 en caso X 2 − 1 = 0 y 1 − X − X 2 X 2 − 1 en otro caso.

¿Es esto correcto?

El elemento de identidad no debe depender de X sino ser un elemento específico de R .

Respuestas (3)

Otro enfoque

Si mi es un elemento neutro, entonces necesariamente

0 ∗ mi = 0

o

− ( mi 2 − 1 ) = 0

Entonces

mi = ± 1

Solo tenemos que comprobar que mi = 1 satisface

( ∀ X ∈ R ) mi ∗ X = X

gracias por el enfoque

Como escribiste, estamos buscando mi tal que X ∗ mi = X para todos X ∈ R .

no tienes que encontrar mi en términos de X . Necesitas un número real mi que funciona para todos los valores de X .

Dado que el valor que está buscando debería funcionar con cada X , debe buscar un valor de X que simplifica la búsqueda de tales mi .

Mira lo que pasa si elegimos X = 1 . Entonces mi debe satisfacer 1 ∗ mi = 1 . Eso es 1 ⋅ mi + ( 1 2 − 1 ) ( mi 2 − 1 ) = 1 que se reduce a mi = 1 . Una vez que encuentres eso mi = 1 trabaja para X = 1 , solo verifica que mi = 1 funciona para todos X :

X ∗ 1 = X ⋅ 1 + ( X 2 − 1 ) ( 1 2 − 1 ) = X

Gracias, tu respuesta complementa perfectamente las demás.

Sólo puede haber un elemento neutro. Y se deduce de tus cálculos que mi = 1 trabajará.

Gracias por el aporte
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