Pregunta más profunda sobre el teorema de Cayley

El teorema de Cayley establece que existe un homomorfismo inyectivo$\phi:G \rightarrow S_n$para cualquier grupo finito con$|G|=n$.

Dejar$\pi: \phi(G) \rightarrow \mathbb{Z}_2$ser el mapa de signos, enviando incluso permutaciones a$0$y permutaciones impares a$1$. Si compongo las funciones para obtener$\pi \circ \phi$, entonces el núcleo del homomorfismo sigue siendo un subgrupo normal de$G$. Entonces,$\ker(\pi \circ \phi) \trianglelefteq G.$

¿Este subgrupo normal tiene algún significado en la teoría de grupos? No estoy seguro de si habría una conexión con un subgrupo normal de elementos de orden par (se me ocurre un contraejemplo) o si hay alguna conexión remota con elementos de orden par para este grupo.

También he especulado que esto significa que los grupos simples deben ser isomorfos a un conjunto generador de solo permutaciones pares. La idea de la prueba sería asumir que el núcleo de la composición de funciones es igual a la identidad. Así, los elementos no identitarios de$G$debe corresponder a permutaciones impares. Sin embargo, multiplicar dos permutaciones impares da como resultado una permutación par. Por lo tanto, debe haber una correspondencia de elementos no triviales con una permutación uniforme.

Si hay algo que debería considerar o si hay algún error en mi argumento, me encantaría escucharlo.