¿De qué sirve dividir un grupo en clases laterales?

Una relación de equivalencia sobre un conjunto de particiones que configuran. Ahora bien, ¿cuál es el uso de esta partición?

En la Teoría de grupo específica, dividimos el grupo en clases laterales, ahora, ¿cuál es su uso? ¿Me ayuda estudiar el grupo por partes?

Por ejemplo, si estoy estudiando un grupo en su totalidad, hay muchos elementos, pero cuando lo divido en clases laterales, en una clase lateral determinada, los elementos de esa clase lateral tienen propiedades similares, por lo que estudiar un elemento de una clase lateral es suficiente.

¿Es correcta mi intuición?

A veces un grupo GRAMO tiene un subgrupo H cuyos elementos desea considerar como "insignificantes". Por ejemplo, si hay un homomorfismo de grupo φ que nos interesa, luego elementos de GRAMO eso φ los mapas de la identidad podrían considerarse "insignificantes". Y es posible que desee considerar dos elementos de GRAMO ser "lo mismo" si su diferencia es insignificante. En otras palabras, gramo 1 y gramo 2 son "lo mismo" si gramo 1 − gramo 2 ∈ H . Modificación por H nos da esta visión simplificada y tosca de GRAMO donde elementos de H son ignorados.

Respuestas (2)

El álgebra, al menos en el sentido clásico, se trata de resolver ecuaciones usando transformaciones "algebraicas". Por ejemplo, podemos resolver la ecuación 2 X + 1 = 5 primero restando 1 y luego multiplicando por 1 2 . Ambas operaciones transforman la ecuación (verdadera) en otra ecuación (verdadera) de forma algebraica. ¡Ambas operaciones también son homomorfismos! Uno es un homomorfismo de la estructura afín, el segundo es un homomorfismo de anillo. Entonces, los homomorfismos transforman ecuaciones verdaderas en otras ecuaciones verdaderas algebraicamente.

Esto también funciona para cosas más complicadas. Por ejemplo, la ecuación ( X − 2 ) 2 = 4 se puede resolver sacando la raíz cuadrada, pero también teniendo en cuenta que podemos sumar un signo negativo o positivo, por lo que tenemos dos soluciones. Esto también se puede expresar en el lenguaje de los homomorfismos: la ecuación se puede obtener aplicando un homomorfismo del grupo multiplicativo (cuadrado) a una de dos ecuaciones: X − 2 = 2 o X − 2 = − 2 . Entonces obtenemos una colección de ecuaciones múltiples que, si son verdaderas, implican que la ecuación original es verdadera, que es exactamente lo que queremos. En este proceso, tome nota de lo que sucedió con el lado derecho de la ecuación: puede tomar todos los valores que son preimágenes de 4 bajo la operación de elevar al cuadrado. Así que es una preimagen de un homomorfismo. ¡Pero las preimágenes de los homomorfismos son cosets del núcleo del homomorfismo! Así que para resolver la ecuación tenemos que encontrar la clase lateral 2 ker ⁡ φ , dónde φ : X ↦ X 2 .

En el álgebra moderna, los homomorfismos aparecen por todas partes, y nos preocupamos por sus preimágenes, entre otras por la razón explicada anteriormente. Y sus preimágenes son cosets de sus núcleos. Probablemente muy raramente se tope con clases laterales sin un homomorfismo que las acompañe a cuyo núcleo pertenecen. Por ejemplo, al construir grupos de cocientes, probablemente examinará el homomorfismo de proyección natural. Las clases laterales que forman un grupo cociente son exactamente las clases laterales del núcleo de ese homomorfismo.

Y el núcleo es un subgrupo normal .

En algunos casos (en particular, si el subgrupo es normal ), puede definir una estructura de grupo en el conjunto de clases laterales, formando lo que se llama un grupo de cociente . Al ser más pequeño, el grupo del cociente es más fácil de estudiar y puede proporcionar información importante sobre el grupo.

Una clase lateral puede contener más de un elemento, por lo que el número de clases laterales es menor o igual que el número de elementos en el grupo, ¿no? Entonces, el grupo cociente es más pequeño que el grupo mismo (intuitivamente).
Bueno, el subgrupo de un elemento es un subgrupo normal y, en ese caso, el grupo del cociente es solo el grupo original, por lo que no sacamos ningún provecho de ese caso trivial. Pero en todos los demás casos, si el grupo inicial es finito (ya veces cuando es infinito), entonces el grupo cociente es más pequeño. El tamaño del grupo cociente es el tamaño del grupo original dividido por el tamaño del subgrupo.
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