La identidad derecha y la inversa derecha en un semigrupo implican que es un grupo

Es conceptualmente muy simple que un inverso derecho es también un inverso izquierdo (cuando también hay una identidad derecha). Se sigue de los axiomas anteriores en dos pasos:

1) Cualquier elemento$a$con la propiedad$aa = a$[es decir, idempotente] debe ser igual a la identidad$e$en los axiomas, ya que en ese caso:

$$a = ae = a(aa^{-1}) = (aa)a^{-1} = aa^{-1} = e$$

Esto ya prueba la unicidad de la identidad [correcta], ya que cualquier identidad por definición tiene la propiedad de ser idempotente.

2) Por los axiomas, para todo elemento$a$hay al menos un elemento inverso derecho$a^{-1}$tal que$aa^{-1}=e$. Ahora formamos el producto de los mismos dos elementos en orden inverso, a saber$a^{-1}a$, para ver si ese producto también es igual a la identidad. Si es así, este inverso derecho es también un inverso izquierdo. Solo tenemos que demostrar que$a^{-1}a$es idempotente, y luego su igualdad con$e$sigue del paso 1:

$$[a^{-1}a][ a^{-1}a] = a^{-1}(a a^{-1})a = a^{-1}ea = a^{-1}a$$

3) Ahora está claro que la identidad de derecha es también una identidad de izquierda. Para cualquier$a$:

$$ea = (aa^{-1})a = a(a^{-1}a) = ae = a$$

4) Para mostrar la unicidad de la inversa:

Dado cualquier elemento$a$y$b$tal que$ab=e$, entonces

$$b = eb = a^{-1}ab = a^{-1}e = a^{-1}$$

Aquí, como arriba, el símbolo$a^{-1}$se usó por primera vez para denotar un representante derecho inverso del elemento$a$. Ahora se ve que este inverso es único. Por lo tanto, el símbolo significa ahora una operación de "inversión" que constituye una función univaluada sobre los elementos del conjunto.

Ver Richard A. Dean, "Elements of Abstract Algebra" (Wiley, 1967), pp 30-31.

Supongo que (a) debería leer$\exists e\in G$tal que$ae=a$,$\forall a\in G$. Para cada$a \in G$tenemos

$$\begin{align*} (a^{-1})^{-1}a^{-1} &= e[(a^{-1})^{-1}a^{-1}]\\ &= (aa^{-1})[(a^{-1})^{-1}a^{-1}]\\ &= [(aa^{-1})(a^{-1})^{-1}]a^{-1}\\ &= (a[a^{-1}(a^{-1})^{-1}])a^{-1}\\ &= (ae)a^{-1}\\ &= aa^{-1}. \end{align*}$$

multiplicando$(a^{-1})^{-1}a^{-1} = aa^{-1}$a la derecha por$(a^{-1})^{-1}$rendimientos

$$\begin{align*} (a^{-1})^{-1} &= (a^{-1})^{-1}e\\ &= (a^{-1})^{-1}[a^{-1}(a^{-1})^{-1}]\\ &= [(a^{-1})^{-1}a^{-1}](a^{-1})^{-1}\\ &= (aa^{-1})(a^{-1})^{-1}\\ &= a[a^{-1}(a^{-1})^{-1}]\\ &= ae\\ &= a, \end{align*}$$

entonces$a^{-1}a=e$para todos$a \in G$.

Agregado: Lo anterior obviamente asume que$e$es una identidad de izquierda , que no fue dada, y de alguna manera ninguno de nosotros la captó en ese momento. Aquí hay un argumento corregido. Para cada$a\in G$tenemos

$$a^{-1}=a^{-1}e=a^{-1}(aa^{-1})=(a^{-1}a)a^{-1}\;,$$ entonces $$e=a^{-1}(a^{-1})^{-1}=\left((a^{-1}a)a^{-1}\right)(a^{-1})^{-1}=(a^{-1}a)\left(a^{-1}(a^{-1})^{-1}\right)=(a^{-1}a)e=a^{-1}a\;.$$

En otras palabras,$a^{-1}$es tanto un inverso izquierdo como derecho para$a$. Resulta que

$$ea = (aa^{-1})a = a(a^{-1}a) = ae = a\;,$$

entonces$e$es una identidad tanto de izquierda como de derecha para$G$. Ahora puedes usar los argumentos usuales para mostrar que la identidad y los inversos son únicos. (Por ejemplo, si$e'$fuera otra identidad, tendríamos$e = ee' = e'$, porque$e$es una identidad de izquierda y$e'$es una identidad correcta.)

Esto se establece con identidad por la izquierda e inversa por la izquierda como la Proposición 20.4 en el libro Spindler: Abstract Algebra with Applications . Permítame copiar aquí la prueba de este libro (debería ser fácil para usted cambiarla por la derecha en lugar de la izquierda):

Dejar$x\in G$ser arbitrario. Queremos demostrar que el inverso izquierdo$x^{-1}$es de hecho también un derecho inverso. Dejar$y:=xx^{-1}$. Entonces

$$yy=(xx^{-1})(xx^{-1})=x(x^{-1}x)x^{-1}=x(ex^{-1})=xx^{-1}=y.$$ Por eso $$e=y^{-1}y=y^{-1}(yy)=(y^{-1}y)y=ey=y=xx^{-1},$$ es decir $xx^{-1}=e$que era lo que queríamos mostrar.

Ahora probamos que el elemento neutral a la izquierda$e$es también un elemento neutral a la derecha. Dejar$x\in G$ser arbitrario; queremos establecer que$xe=x$. Ahora

$$xe=x(x^{-1}x)=(xx^{-1})x=ex=x.$$

Busqué en Google un poco y descubrí que varios autores toman esto de hecho como una definición de grupo, aquí están algunos de los primeros resultados de los libros de Google al buscar el grupo "inverso izquierdo" "identidad izquierda" :

• Robinson: Un curso de teoría de grupos, p.2
• Gelbaum, Olmsted: Teoremas y contraejemplos en matemáticas, p.1
• Sharma: Teoría de grupos, p.14

La mayoría de las pruebas que he visto contienen muchas ecuaciones ingeniosas. La motivación detrás de estas ecuaciones no está muy clara. Aquí presento una prueba más intuitiva.

Para cualquier elemento$a$en$G$, podemos mapearlo a una función$f_a:G \to G$, simplemente define$f_a(x) = xa$. Podemos ver que cada elemento de identidad correcto$e$se asigna a la función de identidad$id$,

$$f_e=id,$$ y la operación de$G$equivale a la composición de funciones: $$f_{ab} = f_b \circ f_a,$$ y la existencia de medias inversas derechas para cualquier$a$hay un$a^{-1}$tal que $$f_{a^{-1}} \circ f_a = id.$$ Eso implicará que cada función$f_a$es inyectiva, de lo contrario la composición de la misma, que es$id$, tampoco puede ser inyectivo. En realidad, es biyectiva, pero no tenemos que usar esa conclusión fuerte aquí.

queremos mostrar$a^{-1}a=e$. Porque$f_{a^{-1}a} = f_a \circ f_{a^{-1}}$, nos preguntamos si$f_a \circ f_{a^{-1}} =id$. Intuitivamente eso debería ser cierto ya que$f_{a^{-1}} \circ f_a = id$y ambos$f_a$y$f_{a^{-1}}$son biyectivas. Para una prueba que solo asume que uno de ellos es inyectivo, vea Lemma a continuación.

Ahora eso$f_{a^{-1}a} = f_e$, probar$a^{-1}$es un inverso izquierdo, solo necesitamos mostrar que para cualquier$c \in G$y$c' \in G$,$f_c = f_{c'}$implica$c=c'$. tratamos de calcular$f_c(e)$:

$$f_c(e) = ec = (cc^{-1})c = c(c^{-1}c)=f_{c^{-1}c}(c)=id(c)=c.$$ Por la misma razón$f_{c'}(e) = c'$, entonces$c=c'$. Nota aquí$ec=c$, por lo que ya ha demostrado que toda identidad correcta es una identidad izquierda.

La unicidad del elemento identidad es inducida por la unicidad de la función identidad, por$f_e=f_{e'}$implica$e=e'$, y también la unicidad de los elementos inversos es inducida por la unicidad de las funciones inversas.

Así que hemos probado$G$es un grupo

lema _ Dejar$X$y$Y$ser dos conjuntos arbitrarios. Dejar$f$ser una función$f: X \to Y$y$g$ser otra funcion$g: Y \to X$. Suponer$g$es inyectivo y$g \circ f = id$, entonces$f \circ g = id$.

prueba _ Dejar$y \in Y$, queremos mostrar que$(f \circ g)(y) = y$. Dejar$y' = (f \circ g)(y)$. Aplicar$g$a ambos lados,

$$g(y')=(g \circ f \circ g)(y) = (id \circ g)(y) = g(y).$$ Entonces$y'=y$.

La respuesta de Martin, pero usando una notación que puede ser más fácil de seguir.

Dejar$G = (S,\cdot)$ser un semigrupo tal que tenga una identidad correcta$1_{r}$, y que cada uno de sus elementos tiene un inverso derecho; es decir,

1. $\forall x \in G: x1_{r} = x$
2. $\forall x \in G: \exists x^{-1}_{r}: xx^{-1}_{r} = 1_{r}$

Mostramos que$G$es de hecho un grupo:

Dejar$y = x^{-1}_{r}x$.

$$yy = (x^{-1}_{r}x)(x_{r}^{-1}x) = x^{-1}_{r}(xx^{-1}_{r})x = x^{-1}_{r}(1_{r})x = (x^{-1}_{r}1_{r})x = x^{-1}_{r}x$$

Por lo tanto,$y$es idempotente, y podemos usar eso para mostrar que$x^{-1}$es en realidad un inverso de dos lados:

$$1_{r} = yy^{-1}_{r} = y(yy^{-1}_{r}) = y1_{r} = y = x^{-1}_{r}x$$

Entonces eso$1_{r}$es también de dos caras:

$$1_{r}x = (xx^{-1}_{r})x = x(x^{-1}_{r}x) = x1_{r} = x$$

Esto basta para demostrar que$G$es un grupo

Prima

Esto nos permite demostrar rápidamente que cualquier semigrupo en el que$ax = b$y$ya = b$están determinados de forma única es también un grupo:

Dejar$G = (S, \cdot)$ser un semigrupo con tales propiedades, y$a$ser un elemento de ese grupo. Sabemos$ax = a$debe tener una solución única, llamémosla$e$. Entonces para cualquier$b \in G$:

$$be = yae = ya = b$$

Donde la primera igualdad también se debe a$ya = b$siendo determinado de manera única. Ahora tenemos todo lo que necesitamos:$e$es una identidad correcta, y cada elemento de$G$tiene inversa.

Pensar en los elementos de un semigrupo como funciones hace que la prueba de este hecho sea mucho más fácil de entender.

Para$a \in G$, podemos definir una función$\sigma_a : x \mapsto x * a$. Por la existencia de inversas derechas, tenemos:

$$\begin{align*} \sigma_{a^{-1}} &\circ \sigma_a = \operatorname{id}_G \\ \sigma_{(a^{-1})^{-1}} &\circ \sigma_{a^{-1}} = \operatorname{id}_G \end{align*}$$ Esto muestra que$\sigma_{a^{-1}}$tiene inversas izquierda y derecha, por lo que ambas$\sigma_{a^{-1}}$y su inversa$\sigma_{a}$son biyectivas.

Habiendo demostrado que$\sigma_a$es biyectiva, es muy fácil deducir que$e$es también una identidad de izquierda. existe un$x \in G$tal que$y * a = a$. Cancelando el$a$es multiplicando con$a^{-1}$por la derecha concluimos que$x = e$, entonces$e * a = a$para todos$a \in G$.

Además, mostrar que los inversos a la derecha también son inversos a la izquierda también es fácil. existe un$y \in G$tal que$x * a = e$. De nuevo multiplicando por$a^{-1}$de la derecha, obtenemos$x = a^{-1}$, entonces$a^{-1} a = e$para todos$a \in G$.

En resumen,$e$es en realidad una identidad de dos caras, y$a^{-1}$es en realidad el inverso de dos lados de$a$.