Izquierda acción regular isomorfa a la derecha acción regular

Estoy leyendo algo sobre grupos regulares y tengo una pregunta sobre por qué las acciones regulares izquierda y derecha son isomorfas.

Dejar$G$ser un grupo Considere el homomorfismo$\rho: G \rightarrow Sym(G), g \mapsto \rho_g$, dónde$\rho_g: x \mapsto xg$. Recuerda que la imagen$R(G)$de este homomorfismo es isomorfo a$G$por el teorema de Cayley. Del mismo modo, la representación regular izquierda$L(G):=\{\lambda_g: g \in G\}$, dónde$\lambda_g: x \mapsto g^{-1}x$, también es isomorfo a$G$, de donde$L(G) \cong R(G)$ya que el isomorfismo es una relación transitiva. Alternativamente,$\rho_g \mapsto \lambda_g$da un isomorfismo directo entre$R(G)$y$L(G)$.

En el texto que estoy leyendo, la acción por multiplicación correcta se define como$\mu(x,g) = xg$. Y luego el texto dice

``También hay una representación regular izquierda de$G$sobre sí mismo, dada por la regla de que$\mu(x,g) = g^{-1} x$. (Aquí se requiere lo contrario para realizar una acción adecuada: tenga en cuenta que$h^{-1}(g^{-1}x)=(gh)^{-1}x$.) Es, como dice el nombre, también una acción regular, y por lo tanto debe ser isomorfa a la acción regular correcta: de hecho, el mapa$x \mapsto x^{-1}$es un isomorfismo.''

Mi pregunta es sobre la última parte que dice que$x \mapsto x^{-1}$es un isomorfismo. Pensé que esto solo era cierto para los grupos abelianos .

Tal vez el hecho de que$x \mapsto x^{-1}$es una biyección es lo que se requiere aquí, dado que el texto define dos acciones para ser isomorfas de la siguiente manera: Si$\rho: \Omega \times G \rightarrow \Omega$y$\lambda: \Delta \times G \rightarrow \Delta$son$G$-acciones, entonces se dice que son isomorfas si hay una biyección$\theta: \Omega \rightarrow \Delta$tal que$\forall \alpha \in \Omega, g \in G$, tenemos$\rho(\alpha,g) \theta = \lambda(\alpha \theta,g)$, es decir, cada elemento de$G$efectúa esencialmente la misma permutación en estos dos conjuntos. Se puede verificar que esta definición de acciones isomorfas se cumple para las acciones regulares izquierda y derecha usando la correspondencia$\theta:x \rightarrow x^{-1}$.

Así que supongo que el autor quiso decir que el mapa de inversión es una biyección en lugar de un isomorfismo. No pude pensar en una manera de probar eso$L(G) \cong R(G)$o probar que las acciones regulares izquierda y derecha son isomorfas usando el hecho de que$x \mapsto x^{-1}$es un homomorfismo (de hecho, creo que este mapa de inversión es un homomorfismo si el grupo es abeliano).