Contando centralizadores de una matriz sobre un campo finito con un polinomio mínimo particular

Para$A\in M_n(k)$, el caso fácil es cuando el polinomio mínimo$m\in k[x]$de$A$tiene grado$n$, es decir. cuando hay algo$v\in k^n$tal que$v,Av,A^2v,\ldots,A^{n-1}v$es una base de$k^n$.

• Si$BA=AB$a continuación, escribir$Bv=\sum_{j=0}^{n-1} c_j A^j v=f(A)v$con$f\in k[x]$,

  Para todos$l$tendremos$BA^l v=A^l B v=A^l f(A)v= f(A)A^l v$.

  así que de hecho$B=f(A)$.

• Por el contrario si$B=f(A)$con$f\in k[x]$entonces obviamente$B$viaja con$A$.

• los elementos de$GL_n(k)$viajando con$A$serán aquellos tales que$f$es coprimo con$m$.

Usted dice que ha establecido que cualquier matriz conmutando con$A$es de la forma$B=bI+aA+cA^2$; por lo que el centralizador de$A$es el anillo$\mathbb{F}_5[A]$. El núcleo del homomorfismo$\epsilon_A:\mathbb{F}_5[X]\to\mathbb{F}_5[A]$dada por$f(X)\mapsto f(A)$es solo$\langle X^3-1\rangle$para que el centralizador de$A$es (isomorfo a) el anillo$\mathbb{F}_5[X]/\langle X^3-1\rangle$. [Personalmente, no suprimiría las palabras "isomorfo a" aquí.]

Ahora más$\mathbb{F}_5$tenemos eso$X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$como producto de distintos factores irreducibles. Entonces tenemos por el teorema chino del resto que

$$\mathbb{F}_5[X]/\langle X^3-1\rangle\simeq \mathbb{F}_5[X]/\langle X-1\rangle\oplus \mathbb{F}_5[X]/\langle X^2+X+1\rangle.$$ Como$X-1$y$X^2+X+1$son irreducibles tenemos que cada uno de estos cocientes es un campo, por lo que nuestro centralizador es isomorfo a $$\mathbb{F}_5\oplus\mathbb{F}_{25}.$$

Al generalizar esto, habrá complicaciones cuando$m_A(X)$tiene factores irreducibles repetidos.