¿Cuál es el significado físico del enunciado "Lagrangiano solo puede definirse hasta una derivada total"?

Question

¿Cuál es el significado físico del enunciado "Lagrangiano solo puede definirse hasta una derivada total"?

acción
Física
términos-límite
condiciones de borde
formalismo lagrangiano
principio variacional

Abhikumbale

Considerando un análogo para la energía potencial de un sistema físico, puede ser único hasta una constante aditiva, pero esto se puede explicar porque estamos realmente interesados en el cambio de energía potencial y esta constante aditiva no contribuye a esto.

ZeroTheHero

dos lagrangianos

L

$L$ y

L^{'}

$L'$ que difieren por una derivada total w/r a

t

$t$ producirá las mismas ecuaciones de movimiento.

Abhikumbale

Sí, entendido. ¿Pero hay algún significado físico de por qué puede suceder esto?

ZeroTheHero

informalmente porque

S = \int L d t

$S=\int L dt$ , sumando una derivada total a

L

$L$ es similar a agregar una constante de integración a

S

$S$ . Dado que las ecuaciones EL se obtienen tomando una variación de

S

$S$ - básicamente una derivada funcional - esta constante de integración simplemente desaparecerá cuando tomes la derivada.

Abhikumbale

Sí, pero ¿esta derivada total da alguna información adicional sobre el sistema? (del mismo modo, elimine la información redundante)

Cristóbal

aparte, tenga en cuenta que esto es lo que hace que funcione el acoplamiento mínimo: el momento canónico tiene la misma libertad de calibre que el potencial electromagnético de 4

sbp

Un punto más que es vital es que la función

F

$F$ es una función de coordenadas generalizadas (

q_{n}

$q_n$ ) y tiempo solamente, es decir,

F (q_{n}, t)

$F(q_n, t)$ . Y el significado físico es que el Lagrangiano para un sistema no es único, pero las ecuaciones de movimiento sí lo son. Igual que en potencial

V

$V$ y vector potencial

A

$A$ no son únicos pero

E

$E$ y

B

$B$ son.

Respuestas (4)

¿Cuál es el significado físico del enunciado "Lagrangiano solo puede definirse hasta una derivada total"?

dos lagrangianos $L$ y $L'$ que difieren por una derivada total w/r a $t$ producirá las mismas ecuaciones de movimiento.
Sí, entendido. ¿Pero hay algún significado físico de por qué puede suceder esto?
informalmente porque $S=\int L dt$ , sumando una derivada total a $L$ es similar a agregar una constante de integración a $S$ . Dado que las ecuaciones EL se obtienen tomando una variación de $S$ - básicamente una derivada funcional - esta constante de integración simplemente desaparecerá cuando tomes la derivada.
Sí, pero ¿esta derivada total da alguna información adicional sobre el sistema? (del mismo modo, elimine la información redundante)
aparte, tenga en cuenta que esto es lo que hace que funcione el acoplamiento mínimo: el momento canónico tiene la misma libertad de calibre que el potencial electromagnético de 4
Un punto más que es vital es que la función $F$ es una función de coordenadas generalizadas ( $q_n$ ) y tiempo solamente, es decir, $F(q_n, t)$ . Y el significado físico es que el Lagrangiano para un sistema no es único, pero las ecuaciones de movimiento sí lo son. Igual que en potencial $V$ y vector potencial $A$ no son únicos pero $E$ y $B$ son.

qmecanico · Answer 1

El significado físico es que los términos de divergencia/derivada total son solo términos de límite en la acción, y las condiciones de límite fijan el límite, por lo que no pueden entrar activamente en el principio de acción estacionario ni alterar las ecuaciones EL (suponiendo que el problema variacional esté bien planteado) . Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Gravitas Aeterna · Answer 2

La acción, esencialmente, es el producto de la energía (en un sistema) por el tiempo (el parámetro de evolución). Pero la energía no tiene sentido; sólo sus diferencias. Por eso la acción se comporta como un potencial, y se define sólo módulo una constante aditiva (que debería corresponder a un término límite que emana de una derivada de tiempo total). Así, es sólo la variación de una acción lo que importa.

caverna · Answer 3

El principio de Hamilton es un enunciado sobre la acción

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t L

$S = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t ~L$

esto significa cualquier dinámica que derives de esto, se basa en el hecho de que $\delta S = 0$ . Con esto en mente, imagina que para un Lagrangiano $L$ defines un nuevo funcional de la forma $L' = L + {\rm d}F/{\rm d}t$ , de modo que la acción se convierte en

S^{'} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t L^{'} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t L + \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t \frac{d F}{d t} = S + [F (t_{2}) - F (t_{1})]

$S' = \int_{t_1}^{t_2}{\rm d}t ~L' = \int_{t_1}^{t_2}{\rm d}t ~L + \int_{t_1}^{t_2}{\rm d}t ~\frac{{\rm d}F}{{\rm d}t} = S + [F(t_2) - F(t_1)]$

y claramente

d S^{'} = d S

$\delta S' = \delta S$

por lo que la dinámica generada es la misma. Es decir, siempre puedes cambiar el Lagrangiano agregando una derivada y la dinámica es la misma.

Sean E. Lago · Answer 4

Usamos lagrangianos para construir ecuaciones de movimiento y ecuaciones de movimiento para construir predicciones medibles sobre cómo evolucionará un sistema con el tiempo. Entonces, los lagrangianos codifican una especie de metapatrón en el proceso de construcción de predicciones, y lo hacen de manera bastante eficiente con mucha flexibilidad en la forma en que se describe el sistema. Si dos lagrangianos producen las mismas ecuaciones de movimiento en todos los casos, entonces la diferencia entre ellos es una distinción sin diferencia. Similar, aunque más complicado, a la declaración $A + B = B + A$ .

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Cristóbal

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qmecanico

Gravitas Aeterna

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Sean E. Lago

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