¿Por qué no todas las partículas libres pierden su energía cinética?

Las partículas no minimizan su acción. En cambio, minimizan su acción dadas ciertas condiciones de contorno. Solo podemos aplicar el principio de acción cuando conocemos los puntos de inicio y finalización con anticipación.

Si sabemos que una partícula estará en el lugar$x_i$en el momento$t_i$y que estará en el lugar$x_f$en el momento$t_f$, entonces la partícula toma un camino de acción mínima (o estacionario) entre esos dos puntos. Quedarse quieto generalmente no es una opción porque$x_i \neq x_f$en la mayoría de los casos. De la forma en que se plantea el problema, la partícula se ve obligada a moverse, simplemente por hipótesis, incluso antes de que intentemos minimizar la acción. Si$x_i = x_f$y tienes una partícula libre, entonces la acción se minimiza al permanecer inmóvil, que es exactamente lo que hace la partícula.

El problema de las partículas libres se puede resolver con la relatividad. Podemos transformarnos en un marco donde$x_i = x_f$, y en este marco la partícula es estacionaria. Al volver a transformarse, la partícula se mueve a velocidad constante en el marco original.

Ya que es una tranquila mañana de domingo, déjame desempolvar mis células cerebrales y ver si puedo recordar cómo hacer esto. Comenzamos observando que si las posiciones inicial y final de la partícula como$\mathbf{r}(t_1)$y$\mathbf{r}(t_2)$, entonces la acción es:

$$S[\mathbf{r}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} \tfrac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2$$

haremos el cambio$\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r} + \delta\mathbf{r}$en cuyo caso la acción se convierte en:

$$S[\mathbf{r} + \delta\mathbf{r}] = \int_{t_1}^{t_2} \tfrac{1}{2}m \left(\dot{\mathbf{r}}^2 + 2\dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\dot{\mathbf{r}} + \delta\dot{\mathbf{r}}^2\right)$$

Entonces el cambio en la acción es:

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \tfrac{1}{2}m \left(2\dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\dot{\mathbf{r}} + \delta\dot{\mathbf{r}}^2\right)$$

y hacemos el truco habitual con los infinitesimales de ignorar los términos al cuadrado y de mayor potencia para dar:

$$\delta S = m\int_{t_1}^{t_2} \dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\dot{\mathbf{r}}$$

El siguiente paso es un truco furtivo que solo los físicos más capaces adivinarán sin que se les diga (yo no lo hice :-). Usamos integración por partes:

$$\int u\dot v\, dt= uv\bigg|_{\text{end points}} - \int \dot u v\, dt$$

con$u = \dot{\mathbf{r}}$entonces$\dot u = \ddot{\mathbf{r}}$, y$\dot v = \delta\dot{\mathbf{r}}$entonces$v = \delta\mathbf{r}$, y esto nos da:

$$\delta S = \left[ m\dot{\mathbf{r}}\cdot\delta\mathbf{r} \right]_{t_1}^{t_2} - m \int_{t_1}^{t_2} \ddot{\mathbf{r}}\cdot\delta\mathbf{r}$$

Pero los puntos finales son fijos por lo que$\delta\mathbf{r}(t_1) = \delta\mathbf{r}(t_2) = 0$y el primer término es cero dando:

$$\delta S = -m \int_{t_1}^{t_2} \ddot{\mathbf{r}}\cdot\delta\mathbf{r}$$

En el extremo de la acción$\delta S = 0$, por lo que la integral debe ser cero. Sin embargo$\delta\mathbf{r}$puede ser cualquier cosa como cualquier variación de$\mathbf{r}$esta permitido. Esto significa que la integral solo puede ser cero si$\ddot{\mathbf{r}} = 0$, y después de todo este dolor terminamos con la primera ley de Newton:

$$\ddot{\mathbf{r}} = 0$$

Entonces, la partícula libre tiene una velocidad constante y, por lo tanto, una energía cinética constante.

Ya que alguien seguramente lo mencionará (aunque está un poco más allá de mi nivel personal en esta área), el teorema de Noether nos dice que si la acción no depende del tiempo, entonces la energía se conserva. Así que realmente no necesitábamos todo este trabajo para concluir que la energía cinética no puede cambiar.