Usando las condiciones de contorno de los puntos finales de cadenas abiertas y luego obtenga el EOM

Question

Usando las condiciones de contorno de los puntos finales de cadenas abiertas y luego obtenga el EOM

acción
Física
teoria de las cuerdas
condiciones de borde
formalismo lagrangiano
principio variacional

Milú

En el primer curso de teoría de cuerdas de Zweibach , utilizó el principio de acción mínima para obtener las ecuaciones de movimiento de cuerdas, donde la variación de acción (que debería ser cero) es:

d S = \int_{τ_{i}}^{τ_{F}} d τ [d X^{m} {PAG}_{m}^{σ}]_{0}^{σ_{1}} - \int_{τ_{i}}^{τ_{F}} d τ \int_{0}^{σ_{1}} d σ d X^{m} (\frac{\partial {PAG}_{m}^{τ}}{\partial τ} + \frac{\partial {PAG}_{m}^{σ}}{\partial σ})

$\delta S = \int_{\tau_i}^{\tau_f} d\tau [\delta X^\mu \mathcal{P}^\sigma_\mu]^{\sigma_1}_0 - \int_{\tau_i}^{\tau_f} d\tau \int_0^{\sigma_1} d\sigma \delta X^\mu \left(\dfrac{\partial \mathcal{P}^\tau_\mu}{\partial \tau}+ \dfrac{\partial \mathcal{P}^\sigma_\mu}{\partial \sigma} \right)$ Luego impuso las condiciones de contorno de los extremos de las cuerdas abiertas (Dirichlet y Neumann) para dejar que el primer término desaparezca; y luego dijo que el segundo término también debe desaparecer. Al hacerlo, obtuvimos las ecuaciones de movimiento:

\frac{\partial {PAG}_{m}^{τ}}{\partial τ} + \frac{\partial {PAG}_{m}^{σ}}{\partial σ} = 0

$\dfrac{\partial \mathcal{P}^\tau_\mu}{\partial \tau}+ \dfrac{\partial \mathcal{P}^\sigma_\mu}{\partial \sigma} =0$ Que son para cuerdas abiertas y cerradas.

Tengo tres preguntas:

¿Cómo podemos considerar que estas son las ecuaciones de movimiento para cuerdas cerradas que no tienen condiciones de contorno en primer lugar?
El punto final de una cuerda puede tener la condición de contorno de Dirichlet o Neumann, pero no ambas.
Y los dos extremos de una cadena abierta pueden tener diferentes condiciones de contorno, entonces, ¿cómo es lógico imponer las dos condiciones para obtener el EOM?

Respuestas (1)

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qmecanico · Answer 1

Para una cadena cerrada $\cong S^1$ , no hay límite y, por lo tanto, no hay condición de límite (BC). De manera equivalente, si pensamos que la cuerda vive en $\mathbb{R}$ , se puede considerar como un BC periódico. El término de frontera en la ec. (1) por lo tanto desaparece en cualquier caso. Por lo tanto, el término general en la ec. (1) todavía tiene que ser cero.
Para una cadena abierta $\cong I\cong[0,\sigma_1]$ , hay dos maneras de hacer un producto $\mathcal{P}^\sigma_{\mu}~ \delta X^\mu =0$ cero:
- (i) La elección $X^\mu={\rm const}$ corresponde a Dirichlet BC, y
- (ii) la elección $\mathcal{P}^\sigma_{\mu}=0$ corresponde a Neumann BC.
Las fronteras $\sigma=0$ y $\sigma=\sigma_1$ son independientes, por lo que uno es libre de elegir, digamos, Dirichlet BC en $\sigma=0$ y Neumann BC en $\sigma=\sigma_1$ .

Ok, ahora está claro para cadenas abiertas, ¡gracias! pero, por favor, ¿podría contarme más sobre las cadenas cerradas? Todavía no entendí la idea.
disculpe si mi pregunta no es tan inteligente, pero estoy aprendiendo cosas nuevas por mi cuenta. ¿Cómo sabemos que el primer término es el límite y el segundo es el mayor?
@Milou: Porque la coordenada espacial de la hoja mundial $\sigma$ sólo puede tomar los valores $0$ y $\sigma_1$ en el primer término, mientras que no existen tales restricciones en el segundo término.

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