¿Por qué la variación de un término de superficie es cero?

Question

¿Por qué la variación de un término de superficie es cero?

Física
términos-límite
condiciones de borde
formalismo lagrangiano
principio variacional
teoría clásica del campo

Hallow_Juan

Mi pregunta original es como:

¿Por qué las ecuaciones de Euler-Lagrange son invariantes si añadimos un término de superficie a la acción?

Y hay una respuesta de Javier:

https://física.stackexchange.com/a/205585/

Tengo algunas dudas sobre la respuesta de Javier, pero como nuevo usuario no puedo comentarlo así que tengo que hacer esta pregunta.

En la respuesta de Javier dijo:

Supongamos que tienes un lagrangiano $L_0$ y agregue una divergencia para obtener $L=L_0+∂_μJ^μ$ . Recuerda que la acción es (en tu número favorito de dimensiones):
$S = \int d X L = S_{0} + \int d X \partial_{m} j^{m} = S 0 + \int d S {norte}_{m} j^{m}$ $S=∫dx L=S_0+∫dx ∂_μJ^μ=S0+∫dS n_μJ^μ$ Aquí $S_0$ es la integral de $L_0$ , y $n_μ$ el vector normal a su límite. Las ecuaciones de movimiento son la condición de que $δS=0$ a primer orden siempre que hacemos una variación en $L$ . Entonces: $d S = d S_{0} + \int d S {norte}_{m} d (j^{m})$ $δS=δS_0+∫dS n_μδ(J^μ)$ Pero $J_μ$ se construye a partir de los campos para los que desea las ecuaciones de movimiento. Dado que, por hipótesis, la variación de los campos en la frontera es cero, también lo es la variación de $J_μ$ . El último término desaparece y obtenemos $δS=δS_0$ .

Pero

d j^{m} = \frac{\partial j^{m}}{\partial ϕ} d ϕ + \frac{\partial j^{m}}{\partial (\partial_{v} ϕ)} d (\partial_{v} ϕ)

$\delta J^{\mu }=\frac{\partial J^{\mu }}{\partial \phi }\delta \phi +\frac{\partial J^{\mu }}{\partial(\partial_{\nu}\phi)}\delta (\partial_{\nu}\phi)$ y solo tenemos

δ ϕ = 0

$\delta \phi=0$ en el límite, y generalmente no tenemos

δ (\partial_{ν} ϕ) = 0

$\delta (\partial_{\nu}\phi)=0$ Entonces, ¿por qué la variación de

J_{μ}

$J_μ$ es cero?

Cuando encontré la respuesta a mi pregunta original, encontré en algún libro que el autor escribe $J^{\mu }$ como $J^{\mu }=J^{\mu }(\phi(x),x)$ , eso es $J^{\mu }$ es sólo una función de $\phi(x)$ y $x$ pero no de $\partial_{\nu}\phi$ . cuando escribimos $J^{\mu }$ de esta forma tenemos:

d j^{m} = \frac{\partial j^{m}}{\partial ϕ} d ϕ

$\delta J^{\mu }=\frac{\partial J^{\mu }}{\partial \phi }\delta \phi$ y la variación de

J_{μ}

$J_μ$ es cero debido a

δ ϕ = 0

$\delta \phi=0$ en el límite. Y también podemos demostrar que:

(\frac{\partial}{\partial ϕ} - \partial_{v} \frac{\partial}{\partial (\partial_{v} ϕ)}) (\partial_{m} j^{m}) = 0

$\left(\frac{\partial }{\partial \phi }-\partial _{\nu }\frac{\partial }{\partial(\partial_{\nu}\phi)}\right)(∂_\mu J^\mu)=0$ entonces tenemos:

\frac{\partial L}{\partial ϕ} - \partial_{m} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} = \frac{\partial L_{0}}{\partial ϕ} - \partial_{m} \frac{\partial L_{0}}{\partial (\partial_{m} ϕ)}

$\frac{\partial L}{\partial \phi }-\partial _{\mu }\frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}=\frac{\partial L_0}{\partial \phi }-\partial _{\mu }\frac{\partial L_0}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ por lo que la ecuación de movimiento es invariante.

Pero en algunos libros el autor no menciona la condición. $J^{\mu }=J^{\mu }(\phi(x),x)$ , entonces, ¿es esta condición una condición necesaria para que la variación de un término de superficie sea cero?

Michael Seifert

No tengo una respuesta completa, pero quería señalar que la variación de un término superficial no es necesariamente cero. Para ver un ejemplo simple donde no lo es (y donde esta no desaparición codifica información física útil), vea el problema de la barra elástica como se describe en el Capítulo 2.15 de The Variational Principles of Mechanics de Lanczos .

jerry schirmer

Si

J^{μ}

$J^{\mu}$ contiene derivadas de los campos, eso significa que la acción original contenía segundas derivadas de los campos. Si estos no son de la forma

(\partial^{2} ϕ) (\partial^{2} ϕ)

$(\partial^{2}\phi)(\partial^{2}\phi)$ , debe integrarlos antes de tomar la variación.

R. Rankin

@JerrySchirmer La acción de Einstein-Hilbert contiene segundas derivadas, pero en general no las integramos.

jerry schirmer

@ R.Rankin: cuando calculas las ecuaciones de movimiento, eventualmente lo haces (o usas el truco de Palantini para tratar

Γ_{a b}^{c}

$\Gamma_{ab}{}^{c}$ como campos independientes, lo que equivale a lo mismo, ya que solo está "ocultando una derivada")

R. Rankin

@JerrySchirmer Ya veo, eso también debe estar relacionado con el hecho de que en el pseudotensor gravitacional (en cualquiera de sus formas) las segundas derivadas siempre se cancelan. ¡Gracias!

Respuestas (1)

¿Por qué la variación de un término de superficie es cero?

No tengo una respuesta completa, pero quería señalar que la variación de un término superficial no es necesariamente cero. Para ver un ejemplo simple donde no lo es (y donde esta no desaparición codifica información física útil), vea el problema de la barra elástica como se describe en el Capítulo 2.15 de The Variational Principles of Mechanics de Lanczos .
Si $J^{\mu}$ contiene derivadas de los campos, eso significa que la acción original contenía segundas derivadas de los campos. Si estos no son de la forma $(\partial^{2}\phi)(\partial^{2}\phi)$ , debe integrarlos antes de tomar la variación.
@JerrySchirmer La acción de Einstein-Hilbert contiene segundas derivadas, pero en general no las integramos.
@ R.Rankin: cuando calculas las ecuaciones de movimiento, eventualmente lo haces (o usas el truco de Palantini para tratar $\Gamma_{ab}{}^{c}$ como campos independientes, lo que equivale a lo mismo, ya que solo está "ocultando una derivada")
@JerrySchirmer Ya veo, eso también debe estar relacionado con el hecho de que en el pseudotensor gravitacional (en cualquiera de sus formas) las segundas derivadas siempre se cancelan. ¡Gracias!

qmecanico · Answer 1

OP pregunta:

¿Por qué la variación de un término de superficie es cero?

Respuesta: Suponga que la acción es esquemáticamente de la forma
$\begin{matrix} (1) & S = S_{1} + B_{2}, \end{matrix}$ $S=S_1+B_2,\tag{1}$ dónde $S_1$ es un término masivo y $B_2$ es un término límite (BT). (Por ejemplo, en GR $S_1$ es la acción EH y $B_2$ es el GHY BT.) Entonces la variación del término general es de la forma $\begin{matrix} (2) & d S_{1} = (término a granel) + d B_{1}, \end{matrix}$ $\delta S_1~=~(\text{bulk term}) + \delta B_1,\tag{2}$ dónde $\delta B_1$ es un BT

Las variaciones de los BT $\delta B_1$ y $\delta B_2$ generalmente no tienen que desaparecer. La condición
$\begin{matrix} (3) & d B_{1} + d B_{2} = 0 \end{matrix}$ $\delta B_1+\delta B_2~=~0\tag{3}$ no es automático, sino que debe imponerse mediante la elección adecuada de condiciones de contorno (BC) para garantizar la existencia de una derivada variacional/funcional para $S$ .
La pregunta original dice:

¿Por qué las ecuaciones de Euler-Lagrange son invariantes si añadimos un término de superficie a la acción?

Respuesta: Esto se explica, por ejemplo, en mis respuestas de Phys.SE aquí y aquí . El punto principal es que un BT nunca puede cambiar los EL eqs. en un punto interior/a granel.

¿No es el único ejemplo famoso de una teoría de campo clásica donde los términos de frontera juegan un papel físico importante... la relatividad general? ¿Y eso es (IIRC) porque la métrica en el límite está relacionada con la métrica en el bulto? Ningún otro campo tiene esta cualidad peculiar.
@AlexNelson Hay otros ejemplos. Yang-Mills, Chern-Simons,... véase, por ejemplo, inspirehep.net/record/567304 . Los términos límite están relacionados con los Cargos y, como tales, tienen una interpretación física.
Para ver un ejemplo simple, consulte, por ejemplo, physics.stackexchange.com/q/138236/2451
Gracias por tu respuesta. Ahora sé que el término límite no tiene que desaparecer. Pero todavía no puedo entender por qué este término que no desaparece no cambia las ecuaciones de Euler-Lagrange. He leído tu respuesta . Dijiste que la derivada funcional del componente límite de la acción ( $B_2=∫dx ∂_μJ^μ$ ) es cero: $\frac{\delta B_2}{\delta \phi}=0$ , porque "la derivada variacional/funcional es un objeto que vive en el bulto (en lugar de en el límite), nunca puede ser distinto de cero idéntico en el bulto".
Pero si uno calcula la derivada funcional directamente, uno tiene: $\frac{\delta B_2}{\delta \phi}=\left(\frac{\partial }{\partial \phi }-\partial _{\nu }\frac{\partial }{\partial(\partial_{\nu}\phi)}\right)(\partial_\mu J^\mu)$ , y para arbitraria $J^\mu$ No puedo probar que este término es igual a cero, a menos que $J^{\mu }=J^{\mu }(\phi(x),x)$ . Entonces, ¿por qué la derivada funcional no es igual a cero si calculo directamente?
La derivada funcional desaparece. Tenga en cuenta que la fórmula para una derivada funcional contiene más términos en el caso de derivadas de espacio-tiempo de orden superior.
@Qmechanic Creo que lo he entendido. La ecuación real de Euler-Lagrange tiene un término infinito que es como $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}+\cdots +(-1)^s\partial _{\mu_1}\cdots\partial _{\mu_s}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_{;\mu_1\dots\mu_s}}+\cdots=0$ , y esta ecuación EL de término infinito es cero para una divergencia arbitraria de 4 $\partial _{\nu}J^{\nu}$ por lo que la ecuación de movimiento no cambia bajo este término adicional. ¿Está bien?

¿Por qué la variación de un término de superficie es cero?

Hallow_Juan

Michael Seifert

jerry schirmer

R. Rankin

jerry schirmer

R. Rankin

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ungerade

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Hallow_Juan

Hallow_Juan

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Hallow_Juan

qmecanico

¿Por qué las ecuaciones de Euler-Lagrange son invariantes si añadimos un término de superficie a la acción?

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