¿Por qué las ecuaciones de Euler-Lagrange son invariantes si añadimos un término de superficie a la acción?

Bueno, si tienes un término como$\partial_\mu \mathcal{J}^\mu$, el teorema de la divergencia te permite convertirlo en un término de superficie al integrar para encontrar la acción, y dado que se supone que las variaciones desaparecen en el límite, este término desaparece. Las ecuaciones de Euler-Lagrange no cambian porque provienen de poner a cero la variación de la acción.

Ejemplo: Supongamos que tienes un lagrangiano$\mathcal{L}_0$y agregue una divergencia para obtener$\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \partial_\mu \mathcal{J}^\mu$. Recuerda que la acción es (en tu número favorito de dimensiones):

Aquí S_0 es la integral de$\mathcal{L}_0$, y$n^\mu$el vector normal a su límite.

Las ecuaciones de movimiento son la condición de que$\delta S = 0$a primer orden siempre que hacemos una variación en$\mathcal{L}$. Entonces:

Pero$\mathcal{J}^\mu$se construye a partir de los campos para los que desea las ecuaciones de movimiento. Dado que, por hipótesis, la variación de los campos en la frontera es cero, también lo es la variación de$\mathcal{J}^\mu$. El último término desaparece y obtenemos$\delta S = \delta S_0$. Esto implica que los eom no cambian, ya que$\delta S = 0$es equivalente a$\delta S_0 = 0$.