¿Se puede agregar un lagrangiano puro de Yang-Mills de cuatro divergencias para alterar la acción? [duplicar]

Question

¿Se puede agregar un lagrangiano puro de Yang-Mills de cuatro divergencias para alterar la acción? [duplicar]

acción
Física
teoría de campo
términos-límite
formalismo lagrangiano
principio variacional

SRS

Un término de cuatro divergencias $\partial_\mu K^\mu$ cuando se agrega a un Lagrangiano, la acción cambia como

\begin{matrix} (1) & S \to S^{'} = S + \int_{R} d^{4} X \partial_{m} k^{m} \end{matrix}

$S\to S^\prime=S+\int_R d^4x \partial_\mu K^\mu\tag{1}$ dónde

R

$R$ es una región del espacio-tiempo. Usando el teorema de Gauss, el término

\int_{R} d^{4} x \partial_{μ} K^{μ}

$\int_R d^4x \partial_\mu K^\mu$ se puede convertir a una integral de superficie

\int_{\partial R} d σ_{m} k^{m}

$\int_{\partial R} d\sigma_\mu K^\mu$ dónde

\partial R

$\partial R$ representa el límite de

R

$R$ . Ahora considere una acción pura de Yang-Mills

S = - \int d^{4} X \frac{1}{4} {GRAMO}_{m v}^{a} {GRAMO}^{m v a} .

$S=-\int d^4x~ \frac{1}{4}G_{\mu\nu}^a G^{\mu\nu a}.$ Le añadimos un término

\int_{R} d^{4} x \partial_{μ} K^{μ}

$\int_R d^4x \partial_\mu K^\mu$ dónde

K^{μ}

$K^\mu$ tiene la forma

k^{m} = \frac{1}{dieciséis π^{2}} ϵ^{m v λ ρ} A_{v}^{a} ({GRAMO}_{λ ρ}^{a} + \frac{gramo}{3} F^{b C a} A_{λ}^{b} A_{ρ}^{C}) .

$K^\mu=\frac{1}{16\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}A_\nu^a\Big(G^a_{\lambda\rho}+\frac{g}{3}f^{bca}A_\lambda^b A_\rho^c\Big).$ Aquí,

G_{μ ν}^{a} = \partial_{μ} A_{ν}^{a} - \partial_{ν} A_{μ}^{a} + g f^{a b c} A_{μ}^{b} A_{ν}^{c}

$G_{\mu\nu}^a=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c$ denota el tensor de intensidad de campo de gluones,

A_{μ}^{a}

$A_\mu^a$ son los campos de gluones y

a, b, c

$a,b,c$ denota el índice de color. Por lo tanto, la acción cambia a

\begin{array}{rcl} S \to S^{'} & = & S + \int_{R} d^{4} X \partial_{m} k^{m} \\ = & S + \int_{\partial R} d σ_{m} k^{m} \\ = & S + \frac{1}{dieciséis π^{2}} ϵ^{m v λ ρ} \int_{\partial T} d σ_{m} A_{v}^{a} ({GRAMO}_{λ ρ}^{a} + \frac{gramo}{3} F^{b C a} A_{λ}^{b} A_{ρ}^{C}) . \end{array}

$\begin{eqnarray}S\to S^\prime &=& S+\int_R d^4x \partial_\mu K^\mu\\ &=& S+\int_{\partial R} d\sigma_\mu K^\mu\\ &=& S+\frac{1}{16\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}\int_{\partial T}d\sigma_\mu A_\nu^a\Big(G^a_{\lambda\rho}+\frac{g}{3}f^{bca}A_\lambda^b A_\rho^c\Big).\end{eqnarray}$ Ahora bien, si consideramos calibre puro, es decir, una condición de frontera de la forma

A_{μ}^{a} \neq 0

$A_\mu^a\neq 0$ pero

G_{μ ν}^{a} = 0

$G_{\mu\nu}^a=0$ en

\partial R

$\partial R$ , vemos que la acción cambia en una cantidad distinta de cero

S^{'} - S = \frac{gramo}{48 π^{2}} ϵ^{m v λ ρ} F^{b C a} \int_{\partial R} d σ_{m} A_{v}^{a} A_{λ}^{b} A_{ρ}^{C} \neq 0.

$S^\prime-S=\frac{g}{48\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}f^{bca}\int_{\partial R}d\sigma_\mu A_\nu^a A_\lambda^b A_\rho^c\neq 0.$

Pregunta ¿Significa esto que la acción puede cambiar incluso si se agrega una cuádruple divergencia al Lagrangiano?

SRS

Sí, eso es lo que estoy preguntando. Pero a menudo agregar una divergencia total a Lagrangian no altera la acción. ¿Bien? Esta es la razón por la cual, en consideraciones de simetría, permitimos que el Lagrangiano pueda cambiar en una divergencia de 4 para que la acción siga sin cambios. (Ec. 2.10 de Peskin y Schroeder) @AccidentalFourierTransform

SRS

¿Hice una afirmación incorrecta en el comentario anterior? @AccidentalFourierTransform

una mente curiosa

No entiendo qué tipo de respuesta estás buscando aquí. Ha demostrado claramente que la acción cambia por un término límite si agrega esta divergencia al Lagrangiano. Su "¿Significa esto que la acción puede cambiar incluso si se le agrega una divergencia de cuatro?" por lo tanto, no tiene sentido, ¡eso es lo que acabas de mostrar! ¿Qué es lo que realmente quieres saber aquí?

SRS

Cuando dije "agregado a eso", quise decir "agregado al Lagrangiano", no a la acción. Por lo general, si se agrega una 4-divergencia a un Lagrangiano, la acción no cambia. Después de todo, la simetría implica invariancia de la acción; la invariancia de la acción nos permite agregar una 4-divergencia al Lagrangiano. ¿Es eso incorrecto? @ACuriousMind

una mente curiosa

Todo eso puede o no estar mal dependiendo de su definición de simetría . Consulte physics.stackexchange.com/a/51334/50583 para obtener una discusión sobre (cuasi-)simetrías con términos de límite en la acción. Por favor, no espere con su pregunta real hasta que alguien pregunte en los comentarios, sino hágalo en la pregunta misma.

AccidentalFourierTransformar

ver también physics.stackexchange.com/q/368801/84967

Respuestas (1)

¿Se puede agregar un lagrangiano puro de Yang-Mills de cuatro divergencias para alterar la acción? [duplicar]

Sí, eso es lo que estoy preguntando. Pero a menudo agregar una divergencia total a Lagrangian no altera la acción. ¿Bien? Esta es la razón por la cual, en consideraciones de simetría, permitimos que el Lagrangiano pueda cambiar en una divergencia de 4 para que la acción siga sin cambios. (Ec. 2.10 de Peskin y Schroeder) @AccidentalFourierTransform
¿Hice una afirmación incorrecta en el comentario anterior? @AccidentalFourierTransform
No entiendo qué tipo de respuesta estás buscando aquí. Ha demostrado claramente que la acción cambia por un término límite si agrega esta divergencia al Lagrangiano. Su "¿Significa esto que la acción puede cambiar incluso si se le agrega una divergencia de cuatro?" por lo tanto, no tiene sentido, ¡eso es lo que acabas de mostrar! ¿Qué es lo que realmente quieres saber aquí?
Cuando dije "agregado a eso", quise decir "agregado al Lagrangiano", no a la acción. Por lo general, si se agrega una 4-divergencia a un Lagrangiano, la acción no cambia. Después de todo, la simetría implica invariancia de la acción; la invariancia de la acción nos permite agregar una 4-divergencia al Lagrangiano. ¿Es eso incorrecto? @ACuriousMind
Todo eso puede o no estar mal dependiendo de su definición de simetría . Consulte physics.stackexchange.com/a/51334/50583 para obtener una discusión sobre (cuasi-)simetrías con términos de límite en la acción. Por favor, no espere con su pregunta real hasta que alguien pregunte en los comentarios, sino hágalo en la pregunta misma.

qmecanico · Answer 1

Para que un principio de acción esté matemáticamente bien planteado, las derivadas funcionales/variacionales $\delta S/\delta A^a_{\mu}$ debería existir Por lo tanto, es necesario imponer condiciones de contorno (BC) apropiadas.
En el caso específico de OP de la teoría YM con términos de frontera (BT), lo dejamos como ejercicio para resolver todos los posibles BC consistentes. Tenga en cuenta en particular que los BT en la acción pueden alterar el conjunto de BC consistentes. (Este último hecho es presumiblemente la respuesta a la pregunta real de OP). Un BC que siempre funciona matemáticamente es el Dirichlet BC.
Si 2 principios de acción [ambos con (no necesariamente los mismos) BC consistentes] difieren por un BT, entonces las ecuaciones de campo de movimiento son las mismas, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Finalmente, debemos enfatizar que un BC (además de ser matemáticamente consistente) a menudo también está motivado físicamente.

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una mente curiosa

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AccidentalFourierTransformar

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qmecanico

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