Variación de Acción con variaciones de coordenadas de tiempo

Este es el problema variacional con tiempo final libre y se procede así:

$$\delta S= \int_{t_i}^{t_f+\delta t_f} L \left(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t\right) dt - \int_{t_i}^{t_f} L \left(q, \dot{q}, t\right) dt$$

Después de varias transformaciones e integración por partes, finalmente se obtiene la diff eq habitual de Euler-Lagrange más una condición de contorno que implica$\delta t_f$:

$$0 = L(q, \dot{q}, t) \delta t_f + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(\delta q_f - \dot{q} \delta t_f)$$

Pasos de derivación:

a. Expanda la primera integral en una serie de Taylor y mantenga los términos de primer orden y divida los límites de integración (y haga las cancelaciones):

$$\delta S= \int_{t_f}^{t_f+\delta{t_f}} \left[ L + \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt$$

b. La variación total consta de 2 variaciones;$\delta{q}$y$\delta{t_f}$. Integrando en un intervalo pequeño , es decir$[t_f, t_f + \delta{t_f}]$es efectivamente equivalente a la multiplicación por$\delta{t_f}$:

$$\delta S= \delta{t_f} \left[ L + \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt$$

C. Términos como$\delta{t_f}\delta{q}$o$\delta{t_f}\delta{\dot{q}}$son variaciones de segundo orden y se pueden descartar:

$$\delta S= \delta{t_f} L + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt$$

d. La integración por partes produce una ecuación diferencial de Euler-Lagrange habitual. más la condición de contorno.

mi. En la condición de frontera en el tiempo$t_f$uno tiene:

Variación total de$q$en$t_f$es

$$\delta{q_f} = \delta{q(t_f)} + (\dot{q} + \delta{\dot{q}})\delta{t_f} = \delta{q(t_f)} + \dot{q}\delta{t_f}$$

o

$$\delta{q(t_f)} = \delta{q_f} - \dot{q}\delta{t_f}$$

Pista para @Y2H:

La variación total en el límite$\delta{q_f}$es simplemente la suma de las variaciones de la trayectoria y el tiempo en el límite (dado que pueden considerarse variaciones independientes), es decir$(\delta{q(t_f)}) + (q(t_f+\delta{t_f})+\delta{q(t_f+\delta{t_f})}-q(t_f)-\delta{q(t_f)})$y este último se puede descomponer (hasta variaciones de 1er orden) como$(\dot{q}(t_f) + \delta{\dot{q}(t_f)})\delta{t_f}$

PD: Ha pasado mucho tiempo desde que publiqué esta respuesta y no tengo mis notas a mano, pero espero que lo anterior te dé una pista.

PS2: Aquí hay algunas notas de clase sinópticas sobre cálculo generalizado de variaciones con puntos finales libres

I) Sugerencia: descomponga la variación infinitesimal completa

$$\tag{A} \delta q~=~\delta_0 q + \dot{q} \delta t$$

en una variación infinitesimal vertical$\delta_0 q$y una variación infinitesimal horizontal$\delta t$. De manera similar, la variación infinitesimal completa se convierte en

$$\tag{B} \delta I~=~\delta_0 I + \left[ L ~\delta t \right]_{t_1}^{t_2},$$

donde la pieza vertical sigue el argumento estándar de Euler-Lagrange

$$\tag{C} \delta_0 I~=~ \int_{t_1}^{t_2}\! dt~\left[\frac{\partial L}{\partial q}-\dot{p} \right] \delta_0 q + \left[ p ~\delta_0q \right]_{t_1}^{t_2},$$

y por conveniencia hemos definido los momentos Lagrangianos

$$\tag{D} p~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}.$$

Ahora combine las ecs. (AD) para derivar la ec. (65) en la ref. 1:

$$\tag{65} \delta I~=~ \int_{t_1}^{t_2}\! dt~\left[\frac{\partial L}{\partial q}-\dot{p} \right] \delta_0 q + \left[ p ~\delta q - (p\dot{q}-L)\delta t\right]_{t_1}^{t_2},$$

II) Ideológicamente, debemos subrayar que la Ref. 1 no está interesado en proponer un principio variacional para variaciones no verticales (como, por ejemplo, el principio de Maupertuis , o una variante del principio máximo de Pontryagin, etc.). Árbitro. 1 está simplemente calculando variaciones no verticales dentro de una teoría que todavía se rige por el principio de acción estacionaria (para variaciones verticales).

III) ref. 1 utiliza principalmente la ec. (65) para deducir las propiedades de la acción de Dirichlet en el caparazón $^1$

$$\tag{E} S(q_2,t_2;q_1,t_1)~:=~I[q_{\rm cl};t_1,t_2],$$

cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Referencias:

1. LB Szabados, Quasi-Local Energy-Momentum and Angular Momentum in GR: A Review Article, Living Rev. Relativity 7 (2004) 4 .

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$^1$Árbitro. 1 llamadas$S(q_2,t_2;q_1,t_1)$la función principal de Hamilton-Jacobi. Aunque relacionada, la función principal de Hamilton-Jacobi $S(q,P,t)$es estrictamente hablando otra función, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.