¿Cuál es el rango del principio de exclusión de Pauli?

Se supone que todos los electrones (y todas las partículas elementales) del universo tienen propiedades exactamente idénticas según el modelo estándar. Esto significa que para los electrones, el principio de exclusión de Pauli dice: "No hay 2 electrones en el universo que puedan ocupar el mismo estado".

Pero debido a la redacción de su pregunta, creo que también podría tener una idea equivocada de qué constituye exactamente un "mismo estado". Por ejemplo, si tiene dos átomos de hidrógeno a 1 km de distancia, ambos podrían tener un electrón en el "mismo"$1s$estado. Esto es simplemente porque estos dos estados son diferentes. mientras son los dos$1s$estados, están asociados con diferentes átomos.

En un cristal, la imagen es ligeramente diferente porque, estrictamente hablando, los estados propios son estados de Bloch que están deslocalizados sobre el cristal blanco. Pero para los niveles más profundos (los que están muy por debajo del nivel de conducción), la imagen de estados localizados alrededor de cada átomo no es tan extraña. En ese caso, todos los átomos en el cristal típicamente tendrán estos estados ocupados, pero nuevamente esto no está en oposición con el principio de Pauli porque los estados son distinguibles debido a que están asociados con diferentes átomos.

En principio cubre todos los Fermiones del Universo. No hay dos fermiones que compartan los mismos números cuánticos. En un material con muchos moles de electrones cada uno de ellos tiene diferentes valores de nivel de energía, etc. Eso sí, hay que considerar, por ejemplo, que dos electrones con los mismos números n, l, m y spin giran alrededor de dos núcleos idénticos. . Tienen, sin embargo, diferentes números cuánticos dado que dado un marco de referencia y la descripción del sistema por algún vector de estado cuántico bastante complicado, diferirían en sus números cuánticos. Lo mismo se aplica a los sistemas más complicados. Entonces, último ejemplo, los fermiones en una estrella que colapsa resisten el colapso debido al principio de exclusión de Pauli a pesar de que están en un sistema enorme con un vector de estado cuántico no muy bien definido.

La forma más común de visualizar el rango del principio de exclusión proviene del estudio de objetos ultradensos como las estrellas enanas blancas y las estrellas de neutrones. En una enana blanca, la gravedad aprieta la materia con tanta fuerza que las funciones de onda de los electrones en ella comienzan a superponerse, y ahí es donde entra en juego el principio de exclusión, y lucha contra la gravedad para apoyar a la enana blanca y evitar que sea apretó más. Este efecto se denomina presión de degeneración y una descripción completa del mismo sería la extensión de varios capítulos en un texto de astrofísica.

La presión de degeneración solo se activa cuando los átomos se comprimen con tanta fuerza que la mayor parte del espacio vacío dentro de los átomos se ha comprimido. En efecto, esto significa que el rango de distancia en el que la presión de degeneración se vuelve importante es mucho menor que las dimensiones de un átomo típico en su estado no comprimido.

Depende del sistema al que pertenezcan los fermiones. El principio de exclusión dice que dos fermiones no pueden tener el mismo estado cuántico. El estado cuántico incluye el sistema al que pertenece el fermión. Si está observando electrones en átomos, por ejemplo, el átomo es el sistema y el principio de exclusión se aplica solo a los electrones dentro de un átomo en particular. Si está mirando un gas fermi, entonces el rango es el volumen del gas. Si estás mirando una enana blanca, entonces es del tamaño de la enana blanca.

En mecánica cuántica, las interacciones de partículas pueden ser de dos tipos, interacciones de dispersión y estados ligados.

¿Cuál es el ámbito de aplicación del principio de exclusión?

El principio de exclusión de Pauli se aplica a los estados ligados de electrones en las soluciones de ecuaciones de potencial para átomos/moléculas/redes. Se aplicará a los fermiones en general, por ejemplo, dos muones no pueden ocupar el mismo nivel de energía de hidrógeno muónico .

¿Pueden ser todos los electrones en un átomo,

Todos los electrones de un átomo tienen que ocupar diferentes niveles de energía. Los niveles de energía pueden ser degenerados, pero deben ser diferentes en un número cuántico (ejemplo, orientación de giro, por ejemplo)

o pueden ser electrones en un conductor completo,

Los electrones en un conductor completo están ligados muy ligeramente, lo que significa que los niveles de energía que ocupan están muy cerca del continuo, es decir, siempre habrá un nivel de energía disponible con diferentes números cuánticos para ocupar, esto es lo que permite tener una mecánica cuántica más general. modelos para sólidos como la teoría de bandas de sólidos .

o puede ser un rango mayor?

Entonces, el rango tiene significado para el principio de exclusión de Pauli solo cuando se habla de estados ligados que tienen niveles de energía etiquetados por números cuánticos disponibles para la ocupación.

Como mencionaste, el principio de exclusión de Pauli establece que:

dos fermiones idénticos no pueden estar en el mismo estado cuántico

A partir de su pregunta, es difícil saber cuánto sabe de mecánica cuántica, pero un estado es básicamente todo lo que sabe para comprender un sistema. En una representación de la mecánica cuántica, un estado se representa como una función de número complejo de posición en el espacio, a menudo denotada$\psi(x)$, con$x$teniendo tantas dimensiones como sea necesario para representar su sistema.$x$por lo tanto puede ser un escalar o un vector. Entonces, ¿por qué tenemos números cuánticos en los átomos? El truco es que las partículas unidas solo pueden estar en ciertos estados, o combinaciones lineales de estos estados. Eso es,$\psi(x)$no puede ser arbitrario para partículas unidas, debe tener una forma muy específica. Esto es análogo a afirmar en la mecánica clásica que una partícula está obligada a girar alrededor de un punto en un plano. De un problema 3D, ahora regresa a un problema 1D. La diferencia es que ahora se parte de un conjunto incontable (todos los$\psi(x)$) a un conjunto contable o incluso finito. Entonces, en lugar de escribir$\psi(x)$, lo escribimos como una combinación lineal de los estados fundamentales, o puros, los correspondientes a los números cuánticos, y denotamos estos estados por la forma en que los contamos, con números cuánticos, en lugar de llevar con nosotros todas las funciones. Tenga en cuenta que$\psi(x)$puede estar en más de 3 dimensiones si tiene más de 1 partícula, ya que entonces necesita más de 3 números para representar su sistema. Es como en la mecánica clásica: dos partículas en 1 dimensión están representadas por sus respectivas posiciones,$x_1$y$x_2$.

Dado todo esto, las otras respuestas dan una muy buena idea de cuál es el rango del principio de exclusión: es en principio infinito. Tenga en cuenta que si dos partículas no están en el mismo pozo de potencial, entonces la función de onda se define por los números cuánticos del primer pozo de potencial y los números cuánticos del segundo pozo de potencial. Hay los mismos "números" con los mismos valores, pero matemáticamente, corresponden a diferentes funciones de onda ya que las funciones se centran alrededor de un origen diferente, por lo que puede tener dos átomos de helio en el estado fundamental uno al lado del otro.

Una formulación más precisa del principio de exclusión de Pauli es que la función de onda que representa un sistema de más de una partícula debe ser antisimétrica con respecto al intercambio de las dos partículas. Es decir, si cambia la ubicación de las dos partículas, la función de onda cambia de signo. Dado que los fermiones de cierto tipo, como los electrones, son indistinguibles entre sí si tienen el mismo espín, la única forma en que esto puede suceder para los electrones en el mismo pozo de potencial es si dos electrones tienen un espín diferente. Con el mismo giro, necesitas$\psi(x) = -\psi(x)$, entonces 0: sin electrones.

Como nota final, en la práctica, cuando las partículas interactúan en amplios pozos de potencial, lo que se relaciona con su "rango", los niveles de energía se acercan mucho entre sí en energías correspondientes a un gran ancho de pozo. Entonces, puede tener muchas partículas que tengan la "misma" energía a energías lo suficientemente altas, pero la energía aún difiere entre dos electrones si tienen el mismo espín. Solo difiere un poco. Por supuesto, los electrones que tienen menor energía (ligados más cerca del centro del pozo de potencial) tienen energías que están separadas por pasos más grandes. Para ver la influencia del principio de exclusión de Pauli a energías más altas en tales sistemas, necesita tener muchos electrones a estas energías.