¿Qué tan axiomático es el requisito de simetrización (es decir, el principio de Pauli)? (en gestión de calidad)

Question

¿Qué tan axiomático es el requisito de simetrización (es decir, el principio de Pauli)? (en gestión de calidad)

Física
función de onda
mecánica cuántica
Partículas idénticas
principio de exclusión de Pauli

usuario35915

Hasta ahora siempre me han dicho que el requisito de simetrización es un axioma en el nivel de la ecuación de Schrödinger y la interpretación estadística de la función de onda (o su valor absoluto). Sin embargo, hace algún tiempo, encontré el siguiente pequeño cálculo (que modifiqué un poco, pero espero que siga siendo correcto):

Dejar $\Psi \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$ sea la función de onda de un sistema de dos partículas y $\vec{n_1}$ y $\vec{n_2}$ sean los números cuánticos de las partículas. Ahora bien, si las dos partículas son idénticas (es decir, indistinguibles), no deberíamos poder observar ningún cambio al intercambiar sus números cuánticos, lo que nos deja con:

{| Ψ (\vec{{norte}_{1}}, \vec{{norte}_{2}}) |}^{2} = {| Ψ (\vec{{norte}_{2}}, \vec{{norte}_{1}}) |}^{2}

${\left|\Psi \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)\right|}^2={\left|\Psi \left(\vec{n_2},\vec{n_1}\right)\right|}^2$ Ahora podemos concluir:

Ψ (\vec{{norte}_{1}}, \vec{{norte}_{2}}) = {mi}^{i d} Ψ (\vec{{norte}_{2}}, \vec{{norte}_{1}})

$\Psi \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)=\text{e}^{i\delta}\Psi \left(\vec{n_2},\vec{n_1}\right)$ Es decir, la función de onda adquiere un factor

e^{i δ}

$\text{e}^{i\delta}$ cuando intercambiamos sus argumentos. Intercambiando los argumentos nuevamente, nos deja con:

{mi}^{i 2 d} = 1 ∴ {mi}^{i d} = \pm 1

$\text{e}^{i 2\delta}=1\ \therefore\ \text{e}^{i\delta}=\pm1$ Que básicamente es lo que establece el principio de Pauli.

Si este cálculo es correcto, ¿no debería considerarse el principio de Pauli como una consecuencia de la indistinguibilidad de partículas idénticas y la interpretación estadística, más que como un axioma?

Valter Moretti

vea las respuestas en physics.stackexchange.com/q/73670

usuario35915

Combinando su respuesta y la física de josh, ahora concluyo que en el caso de un sistema de dos partículas, los axiomas (principio de Pauli y la suposición de que el estado no cambia cuando se intercambian números cuánticos) son equivalentes. Pero en el caso de un sistema con más de dos partículas idénticas, el principio de Pauli es "más fuerte" y, por lo tanto, debe usarse para que la teoría describa la naturaleza correctamente.

joshfísica

@ user35915 Incluso en el caso de más de dos partículas, creo que podría usar un argumento similar para demostrar que son básicamente equivalentes porque cualquier permutación se puede descomponer en un producto de transposiciones, pero no lo he pensado. completamente.

usuario35915

En el caso de más de dos partículas, aún puede mostrar que la función de onda simplemente cambiará de signo con el intercambio de cualquier par de sus argumentos, pero, si obtuve la explicación de VM9, el problema es que no puede mostrar que siempre lo hará. cambiar los signos de la misma manera. Es decir, si cambio los argumentos 1 y 2, podría obtener un signo negativo, pero si cambio el 1 y el 3, podría obtener un signo positivo. En otras palabras: no se puede demostrar que la función de onda tiene que ser TOTALMENTE simétrica o antisimétrica como establece el principio de Pauli. Por eso lo llamé "más fuerte".

Valter Moretti

@user35915: Sí, lo has entendido bien. De esta manera es imposible demostrar que las funciones de onda de más de dos entradas deben ser completamente simétricas o completamente antisimétricas. La versión moderna del principio de Pauli requiere una completa antisimetría de ese estado de

n

$n$ fermiones, por lo que el argumento en la pregunta no es equivalente al principio de Pauli pero es más débil. En particular, no puede distinguir entre estadística y paraestadística.

Valter Moretti

Creo que vale la pena agregar mi propia respuesta para enfatizar el hecho, mencionó, de que el principio de Pauli es más fuerte que el argumento sugerido en la pregunta.

Respuestas (3)

¿Qué tan axiomático es el requisito de simetrización (es decir, el principio de Pauli)? (en gestión de calidad)

Combinando su respuesta y la física de josh, ahora concluyo que en el caso de un sistema de dos partículas, los axiomas (principio de Pauli y la suposición de que el estado no cambia cuando se intercambian números cuánticos) son equivalentes. Pero en el caso de un sistema con más de dos partículas idénticas, el principio de Pauli es "más fuerte" y, por lo tanto, debe usarse para que la teoría describa la naturaleza correctamente.
@ user35915 Incluso en el caso de más de dos partículas, creo que podría usar un argumento similar para demostrar que son básicamente equivalentes porque cualquier permutación se puede descomponer en un producto de transposiciones, pero no lo he pensado. completamente.
En el caso de más de dos partículas, aún puede mostrar que la función de onda simplemente cambiará de signo con el intercambio de cualquier par de sus argumentos, pero, si obtuve la explicación de VM9, el problema es que no puede mostrar que siempre lo hará. cambiar los signos de la misma manera. Es decir, si cambio los argumentos 1 y 2, podría obtener un signo negativo, pero si cambio el 1 y el 3, podría obtener un signo positivo. En otras palabras: no se puede demostrar que la función de onda tiene que ser TOTALMENTE simétrica o antisimétrica como establece el principio de Pauli. Por eso lo llamé "más fuerte".
@user35915: Sí, lo has entendido bien. De esta manera es imposible demostrar que las funciones de onda de más de dos entradas deben ser completamente simétricas o completamente antisimétricas. La versión moderna del principio de Pauli requiere una completa antisimetría de ese estado de $n$ fermiones, por lo que el argumento en la pregunta no es equivalente al principio de Pauli pero es más débil. En particular, no puede distinguir entre estadística y paraestadística.
Creo que vale la pena agregar mi propia respuesta para enfatizar el hecho, mencionó, de que el principio de Pauli es más fuerte que el argumento sugerido en la pregunta.

joshfísica · Answer 1

Este argumento simplemente reemplaza un axioma por otro.

Asume que si un sistema cuántico consta de partículas idénticas, entonces el estado del sistema no debería cambiar (se multiplica por una fase) bajo el intercambio de números cuánticos.

Aunque esta es (quizás) una forma más intuitiva de pensar sobre los estados de partículas idénticas, sigue siendo una suposición sólida en el modelo que no se deriva de los otros axiomas.

El hecho es que no importa lo que hagas, necesitarás alguna entrada lógica adicional para tratar con sistemas de partículas idénticas.

Ján Lalinský · Answer 2

El axioma de que la densidad de probabilidad es simétrica:

| ψ (r_{1}, r_{2}) |^{2} = | ψ (r_{2}, r_{1}) |^{2}

$|\psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)|^2 = |\psi(\mathbf r_2,\mathbf r_1)|^2$ solo implica

ψ (r_{1}, r_{2}) = {mi}^{i d (r_{2}, r_{1})} ψ (r_{2}, r_{1}) (*)

$\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = e^{i\delta(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)}\psi(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)~~~(*)$

dónde $\delta(\mathbf{a},\mathbf{b})$ es una función real arbitraria de $\mathbf{a},\mathbf{b}$ . no implica que $\delta$ es constante en todo el espacio de configuración $\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 \in \mathbb{R}^6$ por lo que generalmente no es posible obtener

{mi}^{i 2 d} ψ

$e^{i2\delta} \psi$ después de la aplicación del operador de transposición a (*). Lo que se obtiene en cambio es

ψ (r_{2}, r_{1}) = {mi}^{i d (r_{1}, r_{2})} ψ (r_{1}, r_{2})

$\psi(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1) = e^{i\delta(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)}\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ De estas dos relaciones se sigue

{mi}^{i d (r_{1}, r_{2})} . {mi}^{i d (r_{2}, r_{1})} = 1

$e^{i\delta(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)}.e^{i\delta(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)} = 1$ entonces

d (r_{1}, r_{2}) + d (r_{2}, r_{1}) = k .2 π

$\delta(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) + \delta(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1) = k.2\pi$ pero no se sigue que

e^{i δ}

$e^{i\delta}$ tiene un valor definido para todos

r_{1}, r_{2}

$\mathbf r_1,\mathbf r_2$ .

Para obtener funciones simétricas y antisimétricas, uno tiene que hacer suposiciones más fuertes. Por ejemplo, si asumimos que todos los múltiplos de la función de onda representan el mismo estado y postulamos que la transposición no cambia el estado, entonces tenemos

ψ (r_{1}, r_{2}) = {mi}^{i d} ψ (r_{2}, r_{1}) (*)

$\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = e^{i\delta}\psi(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)~~~(*)$ con

δ

$\delta$ constante y el resto del argumento habitual se puede utilizar para derivar

e^{i δ} = \pm 1

$e^{i\delta} = \pm 1$ .

Valter Moretti · Answer 3

La versión moderna del principio de Pauli requiere una antisimetría completa de un estado de $n$ fermiones. En cambio, el argumento discutido en el cuerpo de la pregunta solo implica que un estado de $n$ los fermiones tienen que ser simétricos o antisimétricos en el intercambio de un par de partículas. Es imposible, de esta manera, demostrar que el estado completo es completamente simétrico o completamente antisimétrico, ya que diferentes pares de partículas en el estado podrían tener un carácter diferente, dando lugar a la llamada paraestadística. En realidad, en dimensión 1+3, las paraestadísticas están prohibidas como consecuencia de la covarianza de Poincaré de la teoría (es el célebre teorema de la estadística de espín ).
Véase también mi respuesta a ¿Es innecesario el postulado de simetrización según Landau Lifshitz?

¿Es correcto el enlace en la pregunta? No veo una respuesta tuya para esta pregunta physics.stackexchange.com/q/73670/81224

¿Qué tan axiomático es el requisito de simetrización (es decir, el principio de Pauli)? (en gestión de calidad)

usuario35915

Valter Moretti

usuario35915

joshfísica

usuario35915

Valter Moretti

Valter Moretti

Respuestas (3)

joshfísica

Ján Lalinský

Valter Moretti

Apoorv Potnis

¿Los cuatro números cuánticos no hacen distinguibles dos electrones?

Partículas indistinguibles cuando las funciones de onda no se superponen

Propiedad antisimétrica de la función de onda fermiónica

Fermiones y principio de exclusión de Pauli

Sistema de dos partículas

¿Por qué las funciones de onda de dos partículas son separables y sus partículas correspondientes son indistinguibles al mismo tiempo?

¿Las medidas cuánticas destruyen el requisito de simetrización?

¿Cuál es la función de onda de un sistema formado por fermiones y bosones?

Principio de exclusión de Pauli y fermiones idénticos

Partículas idénticas parecen reducir la probabilidad