Peculiaridad de un sistema de tres electrones

Considere tres (o cualquier número mayor que 2) electrones sin grados de libertad espacial, por lo tanto, el único grado de libertad son los espines. El espacio de Hilbert se forma entonces por el producto tensorial del espacio de cada electrón. Ahora, de acuerdo con mi literatura sobre el llamado tensor antisimétrico, no se pueden formar tensores antisimétricos si el número de vectores a multiplicar por tensor es mayor que la dimensión de cada espacio vectorial. Si se aplica a mi ejemplo del principio, parece que no puedo formar un estado antisimétrico en el sistema de tres electrones porque el número de ket a multiplicar por tensor es tres (hay tres electrones) mientras que la dimensión de cada uno es 2 ( debido al giro 1/2). Si esto es cierto, ¿es imposible un sistema de tres electrones sin grados espaciales de libertad? Pero esto es extraño.

Respuestas (1)

Sí, no es posible construir un estado de espín totalmente antisimétrico con más de dos electrones. Esta es solo una declaración del principio de exclusión de Pauli.

¿Significa eso que la inclusión de la parte espacial de la función de onda es esencial para crear un estado de 3 electrones?
Espera, espera, espera... Después de algunas veces reflexionando sobre ello, si me quedo | ± ⟩ | ± ⟩ | ± ⟩ de hecho, no parece posible construir un estado antisimétrico. Pero si introduzco otro estado, digamos | π ⟩ que es una combinación lineal de | + ⟩ y | − ⟩ , en realidad puedo formar un estado antisimétrico, que es
| A ⟩ = | + ⟩ | − ⟩ | π ⟩ + | π ⟩ | − ⟩ | + ⟩ + | − ⟩ | π ⟩ | + ⟩ − | π ⟩ | − ⟩ | + ⟩ − | − ⟩ | + ⟩ | π ⟩ − | + ⟩ | π ⟩ | − ⟩
¿Qué opinas?
@nougako, de hecho, no viola el principio de Pauli: los tres electrones están en diferentes estados de partículas individuales, por lo que el estado total puede ser antisimetrizado.
@nougako No, no puedes. Expandir | π ⟩ como una combinación lineal arbitraria de | 1 ⟩ y | 2 ⟩ y verás que | A ⟩ = 0 . Si tienes un espacio vectorial V , los estados del producto antisimétrico son un subespacio de V ⊗ V . Para un espacio 2d, Asím. ( V ⊗ V ) es unidimensional, por lo que Asím. ( V ⊗ V ⊗ V ) es de dimensión cero.
Parece que aquí se ha formado un pro y un contra. @LukePritchett, no entiendo la declaración condicional de su última oración "Para un espacio 2d, Asím. ( V ⊗ V ) es unidimensional, por lo que Asím. ( V ⊗ V ⊗ V ) es de dimensión cero. Lo hiciste sonar como la dimensionalidad de Asím. ( V ⊗ V ) tiene una implicación en la dimensionalidad de Asím. ( V ⊗ V ⊗ V ) . ¿Puedes explicar cómo están conectados?
@nougako Fui descuidado y no estoy seguro de que la implicación sea correcta. Sin embargo, Asím. ( V ⊗ V ⊗ V ) es de dimensión cero si V es bidimensional. Para ver esto, intente construir una base. O pruebe unapologetic.wordpress.com/2008/12/23/antimetric-tensors
no se si A s y metro metro ( V ⊗ V ) es notación estándar. Al menos en matemáticas, el objeto del que está hablando (álgebra exterior) se denotaría Λ 3 ( C 2 ) y es bastante fácil ver que es un espacio vectorial trivial (dimensión cero) en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra#Basis_and_dimension
@Ruslan Hay dos estados de partículas individuales, los electrones no pueden estar en tres estados diferentes (linealmente independientes). De hecho, como señaló Luke Pritchett, | A ⟩ = 0 .
Creo que fqq y Luke tenían razón, es decir, no puede haber un estado antisimétrico formado por tres electrones sin función de onda espacial. Entonces esto implica, en mi opinión, que cualquier átomo con Z > 2 tal que la fuerza de atracción nuclear no es lo suficientemente fuerte como para que el acoplamiento espín-órbita sea influyente, siempre debe tener una función de onda espacial antisimétrica para todos los estados propios del hamiltoniano, porque la función de onda de espín siempre será simétrica. ¿Tengo razón?
No veo por qué el estado necesita ser descomponible en función de onda espacial ⊗ estado de giro (o por qué la parte de giro debe ser simétrica).
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