¿Por qué es necesario el principio de exclusión de Pauli?

Dejar$\psi(x_1,\,x_2)$denotan la función de onda mutua de dos partículas idénticas, donde los vectores$x_i$agrupar los números cuánticos del estado de una partícula. El intercambio de partículas cambia la amplitud a$\psi(x_2,\,x_1)$. El operador lineal que cambia$\psi$de esta forma cuadra a la identidad (ya que un segundo swap recupera$\psi(x_1,\,x_2)$), por lo que sus valores propios son$\pm 1$. Los bosones alcanzan un valor propio de$+1$, con algo de la forma$\psi(x_1,\,x_2)=(\phi(x_1,\,x_2)+\phi(x_2,\,x_1))/\sqrt{2}$. Para los fermiones, el valor propio es$-1$y el$+$Entre los$\phi$s se convierte en un$-$. Pero entonces$\psi(x_1,\,x_1)=0$, y no hay posibilidad de que ambos fermiones tengan el mismo estado.

Una hermosa pregunta que todo estudiante de mecánica cuántica se hace eventualmente. Me alegro de que tú también lo hayas hecho.

Para ser muy breve, la respuesta a su pregunta no es muy fácil. La solución se encuentra en lo profundo del corazón de la Teoría cuántica de campos (QED) en un teorema conocido como Teorema de la estadística de espín (SST) que Pauli probó por primera vez de manera explícita y concluyente. Intentaré presentar la prueba completa de por qué los fermiones y los bosones actúan de la forma en que lo hacen, para que pueda consultar el argumento real y apreciar la belleza en él.

Recuerde a lo largo de la respuesta que: los fermiones se "definen" como aquellas partículas cuyas funciones de onda anticonmutan y los bosones se "definen" como aquellas partículas que conmutan .

De QFT : la causalidad relativista requiere campos cuánticos en dos puntos del espacio-tiempo$x$y$y$separados por un intervalo espacial$(x-y)^2<0$para conmutar o anticonmutar entre sí.

Declaración de SST : Los campos de espines integrales (bosones) conmutan mientras que los campos de espines semiintegrales (fermiones) son anticonmutadores.

Probaremos la afirmación anterior para la dimensión$d=4$Porque para$d\ne4$es excesivamente complejo (se producen estados de espín exóticos, pero no entraremos en eso).

Suposiciones :

1. Los campos son invariantes de Lorentz.
2. Las excitaciones de los campos (partículas) tienen energías positivas.
3. Todos los estados tienen norma positiva (evitando partículas fantasma que tienen estadísticas de espín incorrectas).

Prueba :

Consideraremos un multiplete genérico de Lorentz de campos cuánticos$\hat{\phi}_A$cuyos cuantos tienen espín$j$y masa$M$. Los campos libres satisfacen algún tipo de ecuaciones lineales de movimiento que tienen soluciones de onda plana con$p^2=M^2$. Dejar$p^0=+\sqrt{\textbf{p}^2+M^2}$y deja$e^{-ipx}f_A\left(\textbf{p},s\right)$y$e^{+ipx}f_A\left(\textbf{p},s\right)$ser respectivamente las soluciones de frecuencia positiva y frecuencia negativa.$s$aquí etiqueta diferentes polarizaciones de onda para el mismo$p^\mu$: estados de espín para$M>0$o helicidades para$M=0$.

La perspectiva principal para nosotros son las siguientes dos definiciones y los dos lemas que las relacionan.

(Por ahora, tome estos lemas como ciertos, esta respuesta se volverá excesivamente grande si mostramos esas pruebas también. Pero le aseguro que son hechos bien probados y requieren solo las primeras tres suposiciones básicas).

Las definiciones:

• $$F_{AB}=\Sigma_s f_A(\textbf{p},s)f^*_B(\textbf{p},s)$$
• $$H_{AB}=\Sigma_s h_A(\textbf{p},s)h^*_B(\textbf{p},s)$$

Y las relaciones:

• Ambos$F_{AB}\left(p\right)$y$H_{AB}\left(p\right)$se puede continuar analíticamente hasta momentos fuera de la cáscara como polinomios en el componente de cuatro de$p^\mu$
• Estos polinomios están relacionados entre sí como:

Un campo cuántico libre es una superposición de soluciones con coeficientes operacionales, así:

Independientemente de las estadísticas, las energías de partículas positivas requieren$\hat a^\dagger \left(p,s\right)$y$\hat b^\dagger \left(p,s\right)$ser operadores de creación mientras$\hat a \left(p,s\right)$y$\hat b\left(p,s\right)$ser operadores de aniquilación. De este modo,

Por lo tanto, en un espacio de Fock de norma definida positiva:

mientras que todos los demás "sándwiches de vacío" de dos operadores de creación/aniquilación se desvanecen de forma idéntica. Por lo tanto, independientemente de las estadísticas, los valores esperados de vacío de dos campos en puntos distintos$x$y$y$están dadas por:

En este punto, solo un poco más de álgebra usando esas definiciones y el primer lema es todo lo que queda. Cálculo adicional:

dónde :

y$F_{AB}(+i\partial_x)$es un operador diferencial construido como un polinomio apropiado de$i\partial/\partial x^\mu$en lugar de$p_\mu$. Asimismo :

La relatividad exige que para un intervalo similar al espacio$x-y$,$D(y-x)= +D(x-y)$. A su vez, también tenemos la relación del segundo punto de los lemas. Por lo tanto, independientemente de las estadísticas:

Por otro lado, la causalidad relativista requiere para$\left(x-y\right)^2<0$:

Y las únicas formas en que el par de pares de ecuaciones anteriores se mantienen juntas son si todas las partículas de espines integrales son bosones y todas las partículas de espines semiintegrales son fermiones.

Y esto completa nuestra demostración.

Y si ahora calculas los conmutadores de los campos cuánticos de las partículas, verás un término de la forma$(-1)^{2j}$aparecer, donde$j$es el espín de la partícula. Y así ves por qué los bosones toman un valor de$+1$y los fermiones toman$-1$!

Para el resto del argumento, con gusto lo dirigiré a la hermosa respuesta de JG

¡¡Salud!!

La respuesta anterior explicó que el principio de exclusión es una consecuencia de las funciones de onda antisimétricas. Para ampliar el mapa intelectual, me gustaría mencionar los argumentos que relacionan tres conceptos más: simetría o antisimetría de la función de onda, espín entero o semientero y positividad de la energía.

La ecuación de onda de Dirac describe partículas que tienen dos estados de espín y energía positiva o negativa,$E=\pm \sqrt{{{p}^{2}}+{{m}^{2}}}$. Los estados de energía negativa deben estar al máximo de su capacidad, para que no sea posible extraer más energía del vacío, que debería ser el estado de energía mínima. Esto exige la exclusión.

A Pauli se le ocurrió un ingenioso argumento que relacionaba la antisimetría de las funciones de onda bajo el intercambio de posiciones con el espín de los semienteros. La clave es que el intercambio de partículas idénticas en$x=+1$y$x=-1$es equivalente a una rotación de 180 grados alrededor del eje z , y que tal rotación de partículas con${{S}_{z}}=\tfrac{1}{2}$introducirá un factor de fase de$i$para uno o${{i}^{2}}=-1$para los dos.

También hay argumentos algebraicos en el sentido de que los campos de Dirac deben cuantificarse con operadores anticonmutadores y los campos escalares o vectoriales con operadores conmutadores, para evitar la propagación acausal fuera del cono de luz.