¿Podemos/debemos usar el principio de Pauli para explicar la estructura de la banda?

Revisando el artículo de wikipedia sobre la estructura de la banda , me quedé atrapado en grandes dudas...

Intentan dar una explicación intuitiva de la estructura de la banda basándose en gran medida en el principio de exclusión de Pauli:

si un gran número N de átomos idénticos se unen para formar un sólido, como una red cristalina, los orbitales atómicos de los átomos se superponen. Dado que el principio de exclusión de Pauli dicta que no hay dos electrones en el sólido que tengan los mismos números cuánticos, cada orbital atómico se divide en N orbitales moleculares discretos, cada uno con una energía diferente. Dado que el número de átomos en una pieza macroscópica de sólido es un número muy grande (N~1022), el número de orbitales es muy grande y, por lo tanto, están muy próximos en energía (del orden de 10−22 eV). La energía de los niveles adyacentes está tan cerca que pueden considerarse como un continuo, una banda de energía.

Estoy confundido. Para mí, el principio de exclusión de Pauli establece lo siguiente:

2 fermiones idénticos en el mismo sistema físico no pueden estar en el mismo estado al mismo tiempo

El estado de una partícula se describe por su función de onda. Por lo tanto, no veo cómo el principio de Pauli podría aplicarse a los orbitales de dos átomos "lejos" en el Cristal...

Quiero decir, para ilustrar, si imaginamos un cristal monoatómico 1D y tomamos una cadena de 3 átomos que etiquetamos como A, B y C:

A − B − C

Más o menos podría imaginar que la superposición de los orbitales de valencia de A y B podría implicar que la exclusión de Pauli entra en juego para los electrones de valencia en el sistema AB (aunque ya no estoy seguro de que esta sea la manera correcta de describir esto) .

Sin embargo, ¿por qué el principio de Pauli diría algo sobre los electrones de A y C? Quiero decir, las funciones de onda de los electrones de A y C no se superponen. Siendo "distantes unos de otros", la parte espacial de ψ es distinto para esos electrones, y por lo tanto los estados ya son diferentes. No hace falta invocar el principio de Pauli, que en este caso, no debería dar información. ¿No?

¿Por qué el principio de Pauli causaría una división sin fin a medida que agregamos más y más átomos al cristal cuyos electrones no tienen nada que ver entre sí a medida que aumenta la distancia? (ignorando el hecho de que eventualmente podrían deslocalizarse como electrones de conducción en un cristal metálico)

La forma de introducir la estructura de banda que he estudiado no hace uso del Principio de Pauli (de hecho, en el libro en el que estoy pensando, un capítulo sobre la estructura de banda se coloca antes del que aborda partículas idénticas). En realidad, podríamos establecer la estructura de bandas en una aproximación de un solo electrón, lo que sugiere que el principio de exclusión no tendría nada que ver con este resultado. Solo se basa en la simetría traslacional del Cristal, deduciendo los estados de Bloch e inyectándolos en el SE para mostrar las bandas. mi norte ( k ) surgiendo como una solución.

Entiendo que el principio de exclusión será importante para describir cómo se llenan esas bandas, pero no debería ser necesario, a mi entender, explicar que existen.

Me resulta muy sorprendente encontrar una explicación basada en un principio radicalmente diferente, y me cuesta imaginar que ambas ideas sean equivalentes.

¿Es este enfoque del principio de Pauli realmente correcto? En caso afirmativo, ¿qué entendí mal?

En caso afirmativo, ¿podemos demostrar que es equivalente a la conocida demostración periódica hamiltoniana?

Estoy de acuerdo con usted. Por ejemplo, la banda de conducción (por encima de la energía de Fermi) está vacía a temperatura 0. Aún así, si haces fotoemisión inversa, no verás un solo nivel sino una banda. El hecho de que el mi norte ( k ) no es plano proviene del término de salto (en el modelo hubbard), no del principio de exclusión.

Respuestas (5)

Tienes razón y el artículo de la wiki es problemático. La discreción de los niveles de energía dentro de una banda no se debe al principio de Pauli, sino a que los cristales tienen un tamaño finito que conduce a valores discretos de los números de onda. k . Como dijiste, el principio de Pauli solo limita la cantidad de electrones que pueden llenar una banda.

Ver por ejemplo: Bandas de energía en cristales

Usted escribió en su pregunta:

Quiero decir, para ilustrar, si imaginamos un cristal monoatómico 1D y tomamos una cadena de 3 átomos que etiquetamos como A, B y C:

A − B − C

Más o menos podría imaginar que la superposición de los orbitales de valencia de A y B podría implicar que la exclusión de Pauli entra en juego para los electrones de valencia en el sistema AB (aunque ya no estoy seguro de que esta sea la manera correcta de describir esto) .

Sin embargo, ¿por qué el principio de Pauli diría algo sobre los electrones de A y C? Quiero decir, las funciones de onda de los electrones de A y C no se superponen. Siendo "distantes unos de otros", la parte espacial de ψ es distinto para esos electrones, y por lo tanto los estados ya son diferentes. No hace falta invocar el principio de Pauli, que en este caso, no debería dar información. ¿No?

Creo que aquí radica el núcleo del problema. Las funciones de onda del átomo no se superponen, pero las funciones de onda de todos los electrones de valencia forman una función de onda "general". Ya no se puede saber dónde se encuentra cada electrón de esta cadena. Por ejemplo, el electrón de valencia inicialmente en A puede (cuando se junta con los otros átomos para formar una cadena) se encuentra en C , D ...etc. Lo mismo vale para todos los demás electrones de valencia. Y debido a que son indistinguibles, el Principio de Exclusión de Pauli hace que la mitad de todos los electrones de valencia estén en diferentes estados de energía y formen una banda.

De hecho, el principio de Pauli es muy importante para explicar cómo se forma la estructura de la banda de la forma en que lo hace. Dos fermiones no pueden tener todos los números cuánticos con los mismos valores. Recuerda que la energía también es un número cuántico. La razón por la que los electrones no colapsan en una banda plana es porque los electrones obedecen al principio de Pauli. Se evitan entre sí al diferir sus valores propios de energía. Si el número de electrones está en el orden del número de Avogadro, solo les queda un pequeño espacio en el espacio de energía y, por lo tanto, su energía solo diferirá ligeramente y, por lo tanto, las bandas de energía serán semicontinuas.

Además, el principio de Pauli también está implícitamente incluido en el cálculo de los estados de Bloch a través de la implementación del determinante de Slater.

Sin embargo, ciertamente puede calcular un perfil de energía de una sola partícula mi norte ( k ) sin el principio de Pauli (recuerde que el principio de Pauli es solo para dos o más fermiones). Sin embargo, si lo combina con el principio de Pauli, incluso puede usarlo como una aproximación a las estructuras de bandas de muchos electrones. Aquí, lo que quiero decir con "estructuras" ciertamente incluye la disposición de los electrones en el espacio de energía; es decir, relleno de banda, ya que "estructura" es sin duda un sinónimo de "arreglo". El caso será diferente para los sistemas de muchos bosones que tendrán una sola banda plana (no de tipo parabólico), aunque la partícula individual tenga un perfil de energía de tipo parabólico. Además, ¡aquí estamos hablando de estructuras de banda de estado fundamental!

Gracias por tomarte el tiempo para responder. Sin embargo, siento que en su mayoría estás parafraseando a wikipedia sin responder a las dudas que estaba emitiendo. A mi entender, el principio de exclusión prohíbe que dos partículas tengan el mismo ESTADO. O bien, si 2 partículas están ubicadas lejos una de la otra, ya se encuentran en diferentes estados (diferentes funciones de onda). Entonces mi pregunta es; ¿Cómo viene el principio de Pauli para 2 partículas cuyas wf no se superponen en absoluto? La derivación simplificada de Bloch establece que sé que no hizo uso de los determinantes de Slater en absoluto para la aparición de la estructura de bandas.
Tu pregunta es sobre la estructura de la banda. La razón por la que hay bandas en primer lugar es porque interactúan entre sí y no están localizadas. Las posiciones no son números cuánticos y los electrones son ondas que eventualmente se superponen, sin importar qué tan lejos estén. De acuerdo, puede derivar la forma de la estructura de banda sin el principio de Pauli (eso significa que usa aproximadamente una sola partícula), pero no es toda la historia, ya que cuando comienza a llenar las bandas, se necesita el principio de Pauli para colocar electrones en las bandas, de lo contrario será solo una banda plana. Sin electrones ocupando bandas, las bandas no tienen sentido.
Por favor vuelve a leer mi pregunta. Reconocí que el principio de exclusión es necesario para el llenado de las bandas. La pregunta es si es viable o no como derivación de la existencia de esas bandas . Tienes razón en que también debería mencionar que me refería a aproximadamente 1 electrón. Editará. Por supuesto, no estoy negando la importancia del principio de exclusión en general. Estoy de acuerdo, es crucial para el llenado de bandas y los cálculos de muchos cuerpos de electrones. Sin embargo, mi pregunta es saber si es correcto o no decir que la estructura de la banda en sí surge de este principio.
En realidad, teniendo en cuenta que incluso podemos hablar sobre la estructura de la banda en un caso de un solo electrón, parecería indicar claramente que el principio de Pauli no está involucrado allí, ¿verdad?
Tómese un tiempo nuevamente para reflexionar sobre el principio de exclusión de Pauli "dos o más fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado cuántico dentro de un sistema cuántico simultáneamente". Según la declaración, dice claramente "dos o más". Entonces mi pregunta: ¿sigue funcionando el principio con un electrón? Entonces, tal vez sea su primera pregunta la que necesita una solución.
Sí, ese era el punto de mi último comentario. Wikipédia afirma que la estructura de la banda se puede explicar mediante el principio de exclusión. Sin embargo, la estructura de banda se puede considerar en el caso de un solo electrón donde el principio de exclusión no tiene sentido. Veo una contradicción allí, lo que llevaría a la conclusión de que, no, el principio de exclusión no puede considerarse como la explicación de la estructura de la banda.
El contexto son las estructuras de bandas como una propiedad de los sólidos que tienen muchos electrones. La aproximación de una sola partícula (la primera aproximación) solo se usa para derivar la forma, y ​​ni siquiera es tan precisa para muchos sólidos reales. Además, las estructuras de banda sin electrones que llenan las bandas no tienen sentido. ¡Y para el proceso de llenado necesitas el principio! La afirmación de Wikipedia no es incorrecta, ¡así es como se obtienen bandas no planas para muchos sistemas de electrones!
No discuto la precisión de la aproximación, sino solo el surgimiento de la propiedad de los niveles de energía estructurados en bandas. Nuevamente, no cuestiono el hecho de que el principio será útil para el relleno de las bandas. Sin embargo, la existencia de las bandas y su relleno son dos fenómenos distintos. Y sólo me refiero al primero. El relleno de la banda no es necesario para derivar la estructura de la banda en sí misma. Podemos hablar de la estructura de bandas de un semiconductor independientemente de cómo se llene. Por lo tanto, podemos quedarnos solo en la primera, independientemente de si tiene o no importancia práctica.
"las estructuras de banda sin electrones que llenan las bandas no tienen sentido", en absoluto. Te da el estado accesible para un electrón. Por ejemplo, si excita un electrón de valencia a la banda de conducción, solo puede pasar a esos estados accesibles, incluso si no hay ningún electrón presente en la banda de conducción. No se ve un solo nivel nítido en la espectroscopia de fotoemisión inversa, sino una banda.
@ mels12 Creo que entiendo su punto de que considerar muchos electrones modificará ligeramente (o no ligeramente) la estructura de la banda, debido a la interacción de muchos cuerpos, que debería tomar el principio de exclusión como parte de sus componentes. Sin embargo, no cambia el hecho de que la división de bandas no se originó a partir del principio de Pauli. Simplemente dice que el principio de exclusión es una cosa (entre otras) que cambia la estructura de banda preexistente a medida que "agregamos" más electrones.
@ E.Bellec y, sin embargo, lo llenas primero con al menos un electrón, ¿verdad?
@BarbaudJulien Nuevamente, creo que debería revisar su pregunta a "¿Podemos / debemos usar el principio de Pauli para explicar la estructura de banda de una sola partícula?" o algo así, y no referirme al reclamo de Wikipedia porque tiene su propio contexto. Si tu pregunta fue como la que puse, entonces la respuesta, ¡absolutamente "sí"! ¡Recordemos el principio! Confía en mí, ¡solo obtendrás una sola banda plana (no parabólica) para la estructura de banda de los sistemas de muchos bosones! Y cuando dice "estructuras" de bandas para sistemas de muchos electrones, estoy seguro de que incluye la disposición de los electrones en el espacio de energía; es decir, el relleno de bandas!
@ rnels12 "Confía en mí, solo obtendrás una sola banda plana (no parabólica) para la estructura de banda de los sistemas de muchos bosones", todavía no estoy de acuerdo. Tome un bosón hubbard hamiltoniano H = − t ∑ norte ( b norte + 1 † b norte + b norte † b norte + 1 ) , diagonalizarlo. Encontrarás una banda de energía de la forma mi ( k ) = − 2 t porque ⁡ ( k )
@ E.Bellec Su bosón de Hubbard hamiltoniano no está completo, tiene el segundo término llamado interacción de Hubbard que describe la interacción repulsiva entre partículas, y ese es el nombre del hamiltoniano. Con la forma actual, si transforma H de Fourier en el espacio k, de hecho obtendrá un perfil de energía parabólico para bosones individuales, pero en el estado fundamental solo ocuparán un punto de energía (Enk = const), por lo tanto, estructura de banda no parabólica ". Al incluir el término, la constitución se complica. El estado fundamental estará determinado por la fuerza relativa entre U y t.
Nuevamente, el problema es la diferencia entre el perfil de energía de una sola partícula y la estructura de banda de los sistemas de muchos electrones. No negué que para los cálculos de una sola partícula podemos ignorar el principio de Pauli, pero cuando comienzas a calcular la "estructura" de la banda de los sistemas de muchos electrones, es obligatorio incluir el principio, porque nuevamente la "estructura" también incluye la "disposición" de partículas/electrones.
@ E.Bellec, su hamiltoniano se llama más apropiadamente como el hamiltoniano de unión estrecha (no el hamiltoniano de Hubbard) con términos de salto del vecino más cercano. Y si este hamiltoniano es para bosones, todos los bosones solo ocuparán mi k = − 2 t porque ⁡ ( 0 ) = − 2 t en el estado fundamental. Verá, en los sistemas de muchos electrones, es el principio de Pauli el que extiende/transfiere el perfil de energía a una estructura de banda de muchos electrones.
@ rnels12 Simplemente no estamos de acuerdo con una definición aquí, no con la física. Si toma el de wikipedia "la estructura de banda electrónica (o simplemente estructura de banda) de un sólido describe el rango de energías que puede tener un electrón dentro del sólido" la estructura de banda es mi ( k ) , no el relleno de la banda. No hay necesidad de debatir sobre una definición.
Ciertamente, la física se basa en una definición razonable de cantidades/términos y no estoy buscando debate. El extracto citado en la pregunta comienza con "si es un gran número N...". Ciertamente estamos hablando de estructuras de bandas de muchos electrones. Y si busca el sinónimo de "estructura", por ejemplo aquí: thesaurus.com/browse/structure , dirá "arreglo", en este caso seguramente arreglo de electrones en el espacio de energía. Pero, si desea limitar el problema a un problema de una sola partícula, que no era el caso en la pregunta, supongo que puede hacerlo.
De hecho, creo que todo este debate solo se ha planteado porque no implicamos lo mismo con "estructura de banda". Creo que el consenso científico es llamar a la estructura de banda la forma de En(k). El hecho de que obtienes algunas bandas de energía que son "estados permitidos" para las partículas y otras bandas que son "estados prohibidos". Como suele suceder, toma un significado específico en esta expresión científica particular que puede diferir del significado cotidiano de la palabra, por lo que buscar "estructura" por sí sola en un diccionario puede dar resultados inconsistentes. No hay necesidad de pasarlo por alto, creo que al final estamos de acuerdo ^^

De hecho, el extracto del artículo de Wikipedia es erróneo sin posibilidad de reparación. Mi consejo es buscar otra fuente de conocimiento, preferiblemente un libro de texto de buena reputación.

Aquí está, a pedido de los comentaristas, no del OP, una estructura de conteo de bandas muy simplificada.

Lo importante es que el ancho de banda es causado por la variación en la energía cinética del cristal. Los átomos tienen capas debido al principio de Pauli. Considere el sodio e ignoremos todos los electrones excepto 3s. Los orbitales electrónicos simplificados de un sistema periódico 3D de átomos de sodio son las combinaciones lineales de los átomos individuales. Los coeficientes complejos se pueden escribir, hasta la normalización, como mi i k → j ⋅ r → . Cuando aplicamos el operador de energía cinética encontramos que estos estados tienen energía cinética cristalina | k j | 2 / 2 metro . Los estados con la energía cinética más baja se llenan con 2 electrones cada uno. En el caso de un semiconductor, las bandas se forman a partir de los estados de enlace y antienlace, lo que conduce a la valencia completamente llena y las bandas de conducción completamente vacías, en 0K.

La respuesta necesita más explicaciones para señalar cómo el artículo está completamente equivocado. De hecho, el principio de Pauli es importante para explicar por qué existe la estructura de bandas.
Esto no proporciona una respuesta a la pregunta. Para criticar o solicitar una aclaración de un autor, deje un comentario debajo de su publicación. - De la revisión
@Kyle Oman Esto constituye una respuesta. Esto _no_ constituye una crítica ni una solicitud de aclaración del autor, por lo que no entiendo por completo su punto.
@rnels, por supuesto, el principio de Pauli es importante. Sin él, los átomos no tendrían capas y todos los electrones estarían en el orbital 1s. La estructura de la banda le gustaría bastante diferente. Pero una vez que se da la estructura de capa de los átomos, dominan los elementos de la matriz hamiltoniana entre diferentes orbitales atómicos y los efectos de enlace. Por cierto, ¿realmente espera que envíe un capítulo completo de un libro de texto sobre física del estado sólido como respuesta?
Paz y amor chicos, todo está bien. My2cts, no estoy pidiendo una respuesta de libro de texto. Como se mencionó, ya leí un libro de texto al respecto y estoy de acuerdo con la derivación. Sin embargo, quería tener una discusión sobre si la visión de Wikipedia de las cosas también tenía algo de verdad.
Así que mi respuesta en tu opinión es adecuada, ¿no es así?
La pregunta es "¿Podemos/debemos usar el principio de Pauli para explicar la estructura de la banda?" que "Wikipedia está mal" no responde. Si elabora un poco y explica por qué, en el contexto de la pregunta, entonces está bien, esta puede ser una proto-respuesta, pero tal como está, no responde la pregunta. FYI, la redacción exacta del comentario anterior es generada automáticamente por las herramientas de la cola de revisión, es la que viene conmigo expresando que siento que esto estaría mejor ubicado como un comentario sobre la pregunta que como una respuesta (tal como está redactado actualmente).
@ my2cts como dijo Kyle Oman, esperaría algunos argumentos para explicar si el enfoque del principio de exclusión es válido o no en su opinión;)
@ my2cts No, porque estoy seguro de que podría decir por qué el extracto estaba mal sin poner un capítulo completo de ningún libro, si es que estaba mal, con lo cual no estoy de acuerdo.
@ mels12 si no está de acuerdo, por lo tanto, está de acuerdo con el extracto, espero su propia respuesta a la pregunta.
@Barbaud Julien Estoy seguro de que puede encontrar esa respuesta en su libro de texto. Sin embargo, agregué una respuesta necesariamente muy simplificada a mi respuesta.

E. Bellec dejó un comentario a su pregunta, donde mencionó el comportamiento de la materia cerca de cero Kelvin. En condensados ​​de Einstein-Bose

una gran fracción de bosones ocupa el estado cuántico más bajo, momento en el que los fenómenos cuánticos microscópicos, en particular la interferencia de la función de onda, se hacen evidentes macroscópicamente.

En tales condensados ​​suceden tres cosas:

  • Dependiendo de la temperatura alcanzada cerca de cero Kelvin, una cierta parte de los electrones en los átomos se encuentran en el estado de energía más bajo.
    • La energía térmica se elimina en gran medida del condensado y se suprime el desorden de las partículas subatómicas vibrantes.
  • Los dipolos magnéticos de los átomos en gran parte inmóviles se alinean.

Centrémonos en los dipolos magnéticos. El momento dipolar magnético es una propiedad intrínseca de las partículas subatómicas involucradas y no se pierde con temperaturas más altas. La autoalineación de estos dipolos en átomos en gran parte inmóviles se destruye en un entorno de mayor temperatura a través de la emisión y absorción de fotones. Por cierto, esto es de alguna manera similar a la destrucción de imanes permanentes bajo temperaturas más altas.

Con esos antecedentes, veamos qué descubrió Pauli:

que dos o más fermiones idénticos (partículas con espín medio entero) no pueden ocupar el mismo estado cuántico dentro de un sistema cuántico simultáneamente.

El sistema cuántico es el átomo o una molécula y los fermiones son los electrones en las capas. Llámelo el espín de los electrones o el momento dipolar magnético de los electrones, son la razón por la que los electrones se comportan como se comportan en los átomos. El principio de exclusión de Pauli enuncia este fenómeno, pero no lo explica. Solo para tener una mejor idea, ponga el foco en el momento dipolar magnético de los electrones (están correlacionados uno por uno con el espín).

Estos diminutos imanes están autodispuestos alrededor del núcleo y sin la distorsión de las interacciones fotónicas formarían un condensado ideal de Bose-Einstein. Incluso los átomos con un número impar de estos imanes (abreviatura de "estos electrones con sus espines, también conocidos como momentos dipolares magnéticos") se organizan en pares y luego se comportan como bosones. Es una cuestión de no perturbación de las influencias energéticas circundantes.

¿Se comporta un metal como un sistema cuántico? Cerca de cero Kelvin sí, se comporta como un sistema en bloque. Y, para subrayarlo, todos los átomos tienen sus electrones en el estado más bajo posible. No hay duda sobre la estructura de una banda. Con una temperatura más alta, los electrones están menos unidos al núcleo y para algunos elementos o compuestos, los electrones no están inmóviles y este grado de libertad se denomina estructura de banda. El principio de Pauli no tiene que ver con eso nada.

¿Podemos/debemos usar el principio de Pauli para explicar la estructura de la banda?
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